ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 3 — Calcul algébrique · Coefficients binomiaux et formule du binôme

Exercice 26

Calcul

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ . Calculer les sommes suivantes à l'aide de la formule du binôme. $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^{k}, \qquad \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k}, \qquad \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{2^{k}} \binom{n}{k}, \qquad \sum_{k=0}^{n} 2^{2k} \binom{n}{k}, \qquad \sum_{k=1}^{2n} \binom{2n}{k} (-1)^{k}\, 2^{k-1}.$

Corrigé

On reconnaît chaque fois $(a + b)^{n}$ pour des valeurs bien choisies de $a$ et $b$ : $(1 + 2)^{n}$ , $(1 - 1)^{n}$ , $\big(1 - \frac{1}{2}\big)^{n}$ , $(1 + 4)^{n}$ . Pour la dernière, on écrit $(-1)^{k}2^{k-1} = \frac{1}{2}(-2)^{k}$ , et l'on retranche le terme $k = 0$ de $(1 - 2)^{2n}$ . $\boxed{3^{n} \qquad 0 \qquad \frac{1}{2^{n}} \qquad 5^{n} \qquad \frac{(1 - 2)^{2n} - 1}{2} = 0}$ Attention : la deuxième somme vaut $0$ parce que $n \geqslant 1$  ; pour $n = 0$ , elle vaudrait $1$ , car $0^{0} = 1$ .

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 13 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Sommes, produits et puissances Ensembles finis et principe des tiroirs Binôme de Newton et coefficients binomiaux

Thèmes

coefficients binomiaux, formule du binôme

Notions

coefficient binomial