ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 3 — Calcul algébrique · Coefficients binomiaux et formule du binôme

Exercice 25

Calcul

1. Soit $n \in \mathbb{N}$ . Simplifier $(n + 1)! - n!$ , $\dfrac{(n + 3)!}{(n + 1)!}$ et $\dfrac{n + 2}{(n + 1)!} - \dfrac{1}{n!}$ .

2. Soit $a$ et $b$ deux réels non nuls, et $u_{n} = \dfrac{a^{n}}{n!\,b^{2n}}$ . Simplifier $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ .

3. Développer $(x + 1)^{6}$ et $(x - 1)^{6}$ . En déduire, sans calcul supplémentaire, l'expression développée de $(x + 1)^{6} + (x - 1)^{6}$ .

Corrigé

1. On factorise par la plus petite factorielle : $\boxed{(n + 1)! - n! = n \cdot n! \qquad \frac{(n+3)!}{(n+1)!} = (n + 2)(n + 3) \qquad \frac{n + 2}{(n+1)!} - \frac{1}{n!} = \frac{1}{(n+1)!}}$

2. Les puissances et les factorielles se simplifient : $\boxed{\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{a}{(n + 1)\,b^{2}}}$

3. La ligne $n = 6$ du triangle de Pascal est $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ . $\boxed{(x + 1)^{6} = x^{6} + 6x^{5} + 15x^{4} + 20x^{3} + 15x^{2} + 6x + 1}$ Pour $(x - 1)^{6}$ , les termes de degré impair changent de signe ; dans la somme, ils se compensent et les autres doublent. $\boxed{(x + 1)^{6} + (x - 1)^{6} = 2x^{6} + 30x^{4} + 30x^{2} + 2}$

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Dans l'édifice

Sommes, produits et puissances Ensembles finis et principe des tiroirs

Thèmes

coefficients binomiaux, factorielle

Notions

coefficient binomial