Exercice 24

Pour $m \in [\![1\,;n]\!]$, les couples $(j,k)$ tels que $\max(j,k) \leqslant m$ forment le carré $[\![1\,;m]\!]^{2}$, à $m^{2}$ éléments. Ceux tels que $\max(j,k) = m$ sont donc au nombre de $m^{2} - (m - 1)^{2} = 2m - 1$ : ils forment l'équerre de la figure.

Pour $n = 6$ et $m = 4$, les couples tels que $\max(j,k) = 4$, en ocre, forment une équerre de $2 \times 4 - 1 = 7$ points, qui borde le carré des couples tels que $\max(j,k) \leqslant 3$, en bleu.

On regroupe la somme selon la valeur $m$ de $\max(j,k)$, puis l'on somme sur $i$ : $$\sum_{(i,j,k)} \min\big(i, \max(j,k)\big) = \sum_{m=1}^{n} (2m - 1) \sum_{i=1}^{n} \min(i, m),$$

$$\sum_{i=1}^{n} \min(i, m) = \frac{m(m+1)}{2} + m(n - m) = mn - \frac{m(m-1)}{2}.$$ Il reste une somme de polynômes en $m$, que l'on calcule avec les sommes usuelles. $$\boxed{\sum_{(i,j,k) \in [\![1\,;n]\!]^{3}} \min\big(i, \max(j,k)\big) = \frac{n^{2}(n+1)(5n + 1)}{12}}$$ Pour $n = 2$, on trouve $\frac{4 \times 3 \times 11}{12} = 11$, ce que confirme l'énumération des huit triplets.