Exercice 23

1. Notons $T = \sum_{0 \leqslant i < j \leqslant n} i^{p}$.

• En sommant d'abord sur $i$, à $j$ fixé : $T = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=0}^{j-1} i^{p} = \sum_{j=1}^{n} S_{j-1}^{(p)} = \sum_{k=0}^{n-1} S_{k}^{(p)}$.

• En sommant d'abord sur $j$, à $i$ fixé : il y a $n - i$ valeurs de $j$, et le terme $i = n$, nul, peut être ajouté, donc $$T = \sum_{i=0}^{n} (n - i)\,i^{p} = n\,S_{n}^{(p)} - S_{n}^{(p+1)}.$$

2. Pour $p = 1$, on a $S_{k}^{(1)} = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2}(k^{2} + k)$, donc le membre de droite vaut $$\frac{1}{2}\big(S_{n-1}^{(2)} + S_{n-1}^{(1)}\big) = \frac{1}{2}\big(S_{n}^{(2)} - n^{2} + S_{n}^{(1)} - n\big).$$ On isole $S_{n}^{(2)}$ : $$3\,S_{n}^{(2)} = (2n - 1)\,S_{n}^{(1)} + n^{2} + n = \frac{(2n-1)n(n+1)}{2} + n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}.$$

3. Pour $p = 3$, on utilise $S_{k}^{(3)} = \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4} = \frac{1}{4}(k^{4} + 2k^{3} + k^{2})$, et l'on procède de même : le membre de droite fait intervenir $S_{n}^{(4)}$, que l'on isole. $$\boxed{S_{n}^{(4)} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2} + 3n - 1)}{30}}$$ C'est bien la fonction $f(n)$ de l'exercice 12. La formule d'al-Haytham permet ainsi de calculer, de proche en proche, toutes les sommes de puissances.