Exercice 22

Pour tous $i$ et $j$, les familles étant croissantes, $a_{i} - a_{j}$ et $b_{i} - b_{j}$ ont le même signe : leur produit est positif. En développant la somme double par linéarité, $$0 \leqslant \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} (a_{i} - a_{j})(b_{i} - b_{j}) = \sum_{i,j} a_{i}b_{i} - \sum_{i,j} a_{i}b_{j} - \sum_{i,j} a_{j}b_{i} + \sum_{i,j} a_{j}b_{j}.$$ Le premier et le dernier terme valent $n\sum_{k} a_{k}b_{k}$, et les deux termes centraux valent $\big(\sum_{i} a_{i}\big)\big(\sum_{j} b_{j}\big)$. Donc $$0 \leqslant 2n\sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} - 2\Big(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\Big)\Big(\sum_{j=1}^{n} b_{j}\Big),$$ et l'on divise par $2n^{2}$. $$\boxed{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} \geqslant \Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_{i}\Big)\Big(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} b_{j}\Big)}$$ Si l'une des familles est croissante et l'autre décroissante, chaque produit est négatif, et l'inégalité est renversée. À retenir : la moyenne des produits dépasse le produit des moyennes lorsque les deux grandeurs « varient dans le même sens ». En probabilités, au chapitre 21, cela s'énoncera : deux variables aléatoires qui varient dans le même sens ont une covariance positive.