Exercice 21

Par la proposition 7 du cours, le produit vaut $P = \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \frac{x_{i}}{x_{j}}$. Les $n$ termes diagonaux valent $1$. Les autres se regroupent par paires $\{(i,j), (j,i)\}$ avec $i < j$, au nombre de $\frac{n(n-1)}{2}$, et pour $u = \frac{x_{i}}{x_{j}} > 0$, $$u + \frac{1}{u} - 2 = \frac{(u - 1)^{2}}{u} \geqslant 0.$$ Donc $P \geqslant n + 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n^{2}$. $$\boxed{\Big(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\Big)\Big(\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{x_{j}}\Big) \geqslant n^{2}, \text{ avec égalité si et seulement si tous les } x_{i} \text{ sont égaux.}}$$ L'égalité impose $u = 1$ pour chaque paire. Cette inégalité exprime que la moyenne arithmétique des $x_{i}$ est supérieure à leur moyenne harmonique ; elle se déduira aussi de l'inégalité de Cauchy-Schwarz du chapitre 19.