Exercice 20

1. D'après la proposition 7 du cours, la somme double est un produit de deux sommes. $$\boxed{S_{n} = \Big(\sum_{k=1}^{n} k\Big)^{2}}$$

2. Le carré $[\![1\,;n+1]\!]^{2}$ est la réunion disjointe de quatre morceaux : le carré $[\![1\,;n]\!]^{2}$, la colonne $j = n + 1$ avec $i \leqslant n$, la ligne $i = n + 1$ avec $j \leqslant n$, et le coin $(n + 1, n + 1)$. La relation de Chasles donne l'égalité.

3. Avec $a_{i,j} = ij$, les deux sommes simples valent chacune $(n+1)\frac{n(n+1)}{2}$, et le coin vaut $(n+1)^{2}$ : $$S_{n+1} - S_{n} = 2(n + 1)\frac{n(n+1)}{2} + (n + 1)^{2} = (n + 1)^{2}(n + 1) = (n + 1)^{3}.$$ En sommant ces différences de $0$ à $n - 1$, et puisque $S_{0} = 0$, on obtient $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} k^{3}$. La question 1 conclut. $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \Big(\sum_{k=1}^{n} k\Big)^{2}}$$ La figure de l'énoncé est exactement ce calcul : l'équerre ajoutée au passage de $n$ à $n + 1$ est formée de la colonne, de la ligne et du coin, et son aire est $(n + 1)^{3}$.