Exercice 19

Le produit d'exponentielles de même base est l'exponentielle de la somme des exposants, ce qui ramène les deux premiers produits à des sommes doubles. Pour le troisième, on sépare les facteurs. $$\prod_{1 \leqslant i,j \leqslant n} x^{i+j} = x^{\sum (i+j)} = x^{n^{2}(n+1)}, \qquad \prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{n} i^{\,j} = \prod_{i=1}^{n} i^{\,n(n+1)/2}.$$

$$\boxed{x^{n^{2}(n+1)} \qquad (n!)^{n(n+1)/2} \qquad (n!)^{2n}}$$ Dans le dernier, chaque $i$ apparaît $n$ fois, de même que chaque $j$ : $\prod_{i,j} ij = \big(\prod_{i} i\big)^{n} \big(\prod_{j} j\big)^{n}$.