Exercice 18

On utilise les sommes usuelles du cours et la proposition 8 sur les sommes triangulaires.

• (a) On somme $1$ sur $j$ couples pour chaque $j$ : $\sum_{j=1}^{n} j$. $$\boxed{\frac{n(n+1)}{2}}$$

• (b) Le terme ne dépend pas de $j$ : $\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} i = n \times \frac{n(n+1)}{2}$. $$\boxed{\frac{n^{2}(n+1)}{2}}$$

• (c) On somme d'abord sur $i$ : $\sum_{j=1}^{n} \frac{j(j+1)}{2} = \frac{1}{2}\big(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\big)$. $$\boxed{\frac{n(n+1)(n+2)}{6}}$$

• (d) On ajoute à (c) la somme $\sum_{j=1}^{n} j \times j = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. $$\boxed{\frac{n(n+1)^{2}}{2}}$$

• (e) On développe $(i + j)^{2} = i^{2} + 2ij + j^{2}$ : les deux termes carrés donnent chacun $n \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, et le terme rectangle $2\big(\frac{n(n+1)}{2}\big)^{2}$. $$\boxed{\frac{n^{2}(n+1)(7n + 5)}{6}}$$

• (f) Par symétrie, c'est le double de la somme sur $i < j$ de $j - i$. Pour $j$ fixé, $\sum_{i=1}^{j-1} (j - i) = \frac{j(j-1)}{2}$, et $\sum_{j=1}^{n} \frac{j(j-1)}{2} = \frac{(n-1)n(n+1)}{6}$. $$\boxed{\frac{(n-1)n(n+1)}{3}}$$

• (g) On somme d'abord sur $i$, ce qui fait disparaître le dénominateur : $\sum_{j=1}^{n} \frac{(j+1)(2j+1)}{6}$. $$\boxed{\frac{n(4n^{2} + 15n + 17)}{36}}$$

• (h) Pour $i$ fixé, $\sum_{j=1}^{n} \max(i,j) = i \times i + \sum_{j=i+1}^{n} j = i^{2} + \frac{n(n+1)}{2} - \frac{i(i+1)}{2}$. En sommant sur $i$ : $$\boxed{\frac{n(n+1)(4n - 1)}{6}}$$

• (i) On utilise $\min(i,j) + \max(i,j) = i + j$, dont la somme double vaut $n^{2}(n+1)$. $$\boxed{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$

• (j) Le terme est un produit $3^{i} \times 3^{j}$ : la somme double est le carré de $\sum_{i=1}^{n} 3^{i} = \frac{3(3^{n} - 1)}{2}$. $$\boxed{\frac{9\,(3^{n} - 1)^{2}}{4}}$$

À retenir : le résultat (i) est la somme des carrés, et ce n'est pas un hasard. Pour tout entier $k$ entre $1$ et $n$, on a $\min(i,j) \geqslant k$ pour exactement $(n - k + 1)^{2}$ couples, ceux de $[\![k\,;n]\!]^{2}$ ; en écrivant $\min(i,j)$ comme le nombre d'entiers $k \geqslant 1$ tels que $k \leqslant \min(i,j)$, puis en intervertissant, on obtient $\sum_{k=1}^{n} (n - k + 1)^{2} = \sum_{k=1}^{n} k^{2}$. Toutes ces formules ont été vérifiées pour $n \leqslant 7$.