Exercice 17

On décrit chaque ensemble d'indices par des inégalités, puis on lit les bornes en fixant d'abord $j$ ; le dessin de l'énoncé permet de vérifier, colonne par colonne, quelles valeurs de $i$ correspondent à chaque $j$.

• $S_{1}$. L'ensemble est $0 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$ : pour $j$ fixé, $i$ va de $0$ à $j$.

• $S_{2}$. L'ensemble est $i \geqslant 0$, $j \geqslant 0$, $i + j \leqslant n$ : pour $j$ fixé, $i$ va de $0$ à $n - j$.

• $S_{3}$. L'ensemble est $0 \leqslant i \leqslant n$ et $i \leqslant j \leqslant m$ : pour $j$ fixé, $i$ va de $0$ à $\min(j, n)$, ce qui oblige à distinguer $j \leqslant n$ et $j > n$.

$$\boxed{S_{1} = \sum_{j=0}^{n} \sum_{i=0}^{j} a_{i,j} \qquad S_{2} = \sum_{j=0}^{n} \sum_{i=0}^{n-j} a_{i,j} \qquad S_{3} = \sum_{j=0}^{n} \sum_{i=0}^{j} a_{i,j} + \sum_{j=n+1}^{m} \sum_{i=0}^{n} a_{i,j}}$$ Piège : pour $S_{3}$, la forme trapézoïdale de l'ensemble d'indices ne se laisse pas décrire par une seule somme double à bornes simples ; on la découpe en un triangle et un rectangle, par la relation de Chasles.