Exercice 16

1. On pose $A_{-1} = 0$, de sorte que $a_{k} = A_{k} - A_{k-1}$ pour tout $k \geqslant 0$. Par translation d'indice, $$\sum_{k=0}^{n} a_{k}B_{k} = \sum_{k=0}^{n} A_{k}B_{k} - \sum_{k=0}^{n-1} A_{k}B_{k+1} = A_{n}B_{n} - \sum_{k=0}^{n-1} A_{k}\,(B_{k+1} - B_{k}).$$

$$\boxed{\sum_{k=0}^{n} a_{k}B_{k} = A_{n}B_{n} - \sum_{k=0}^{n-1} A_{k}\,b_{k}}$$ C'est l'analogue discret de $\int_{a}^{b} f'g = [fg]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} fg'$, que l'on verra au chapitre 6 : $A$ joue le rôle de la primitive $f$ de $a$, et $b$ celui de la dérivée $g'$ de $B$.

2. On applique la formule à des familles indexées à partir de $1$, ce qui ne change rien à la démonstration, avec $a_{k} = 1$, donc $A_{k} = k$, et $B_{k} = H_{k}$, donc $b_{k} = \frac{1}{k+1}$ : $$\sum_{k=1}^{n} H_{k} = n\,H_{n} - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{k + 1} = n\,H_{n} - (n - 1) + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k + 1} = n\,H_{n} - (n - 1) + (H_{n} - 1).$$

3. Avec $a_{k} = k$, donc $A_{k} = \frac{k(k+1)}{2}$, et la même suite $B_{k} = H_{k}$ : $$\sum_{k=1}^{n} k\,H_{k} = \frac{n(n+1)}{2}\,H_{n} - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k(k+1)}{2(k+1)} = \frac{n(n+1)}{2}\,H_{n} - \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1} k.$$

$$\boxed{\sum_{k=1}^{n} k\,H_{k} = \frac{n(n+1)}{2}\,H_{n} - \frac{n(n-1)}{4}}$$ Pour $n = 2$, on vérifie $1 + 2 \times \frac{3}{2} = 4 = 3 \times \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$.