Exercice 15

1. La factorisation du cours donne $\frac{a^{n} - 1}{a - 1} = \sum_{k=0}^{n-1} a^{k}$. Comme $a > 1$, chacun des $n$ termes est majoré par $a^{n-1}$. $$\boxed{\frac{a^{n} - 1}{a - 1} \leqslant n\,a^{n-1}}$$

2. Pour la seconde inégalité, qui entraîne la première puisque $2 \cdot n! \leqslant (n+1)!$, on raisonne par récurrence. Pour $n = 1$, $1 \leqslant 2$. Si $\sum_{k=1}^{n} k! \leqslant 2 \cdot n!$, alors $$\sum_{k=1}^{n+1} k! \leqslant 2 \cdot n! + (n + 1)! \leqslant (n + 1)! + (n + 1)! = 2\,(n + 1)!,$$ puisque $2 \cdot n! \leqslant (n + 1) \cdot n!$. $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} k! \leqslant 2 \cdot n! \leqslant (n + 1)!}$$ La somme est dominée par son dernier terme : c'est la croissance très rapide de la factorielle, que le chapitre 10 précisera.