Exercice 14

1. D'une part, $S_{n+1} = S_{n} + (n + 1)q^{n+1}$. D'autre part, le terme d'indice $0$ étant nul, la translation $k \mapsto k + 1$ donne $$S_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} (k + 1)q^{k+1} = q\,S_{n} + q\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$$ En égalant les deux expressions, puis en multipliant par $1 - q$ : $$(1 - q)S_{n} = q\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} - (n + 1)q^{n+1}.$$

2. On calcule, par translation d'indice, $$(q - 1)S_{n} = \sum_{k=0}^{n} k\,q^{k+1} - \sum_{k=0}^{n} k\,q^{k} = n\,q^{n+1} - \sum_{k=1}^{n} q^{k} = n\,q^{n+1} - q\,\frac{1 - q^{n}}{1 - q},$$ et l'on retrouve la même expression en divisant par $q - 1$.

3. D'une part, $\sigma(x) = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$, dont la dérivée est $$\sigma'(x) = \frac{n x^{n+1} - (n + 1)x^{n} + 1}{(1 - x)^{2}}.$$ D'autre part, en dérivant la somme terme à terme, $\sigma'(x) = \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1}$, donc $S_{n} = q\,\sigma'(q)$, ce qui redonne la formule. À retenir : la troisième méthode est la plus rapide et se généralise aux sommes $\sum k^{2} q^{k}$ en dérivant deux fois. Elle annonce l'étude des séries entières de deuxième année.