Exercice 13

1. On a $u_{k+1} - u_{k} = \big(2a(k+1) + 2b - ak - b\big)2^{k} = (ak + 2a + b)\,2^{k}$. L'identification donne $a = 1$ et $2a + b = 2$. $$\boxed{u_{k} = k\,2^{k} \qquad \sum_{k=0}^{n} (k + 2)\,2^{k} = u_{n+1} - u_{0} = (n + 1)\,2^{n+1}}$$

2. De même, $u_{k+1} - u_{k} = \big(ak^{2} + (4a + b)k + (2a + 2b + c)\big)2^{k}$, et l'identification avec $k^{2}2^{k}$ donne $a = 1$, $4a + b = 0$, $2a + 2b + c = 0$. $$\boxed{u_{k} = (k^{2} - 4k + 6)\,2^{k} \qquad \sum_{k=0}^{n} k^{2}\,2^{k} = (n^{2} - 2n + 3)\,2^{n+1} - 6}$$ Pour $n = 2$, on vérifie $0 + 2 + 16 = 18 = 3 \times 8 - 6$.