Exercice 27

En appliquant deux fois la formule du pion, $k(k-1)\binom{n}{k} = n(k-1)\binom{n-1}{k-1} = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$, d'où $$\sum_{k=0}^{n} k(k-1)\binom{n}{k} = n(n-1)\sum_{j=0}^{n-2} \binom{n-2}{j} = n(n-1)\,2^{n-2}.$$ En ajoutant $\sum k\binom{n}{k} = n2^{n-1}$, calculée dans le cours, on obtient la deuxième somme. Pour la troisième, la formule du pion au rang $n + 1$ donne $\frac{1}{k+1}\binom{n}{k} = \frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}$. $$\boxed{n(n-1)\,2^{n-2} \qquad n(n+1)\,2^{n-2} \qquad \frac{2^{n+1} - 1}{n + 1}}$$ La troisième somme, $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\int_{0}^{1} x^{k}\,\mathrm{d}x$, se retrouve aussi en intégrant $(1 + x)^{n}$ entre $0$ et $1$, comme on sait le faire depuis la Terminale et comme le reprendra le chapitre 6.