Exercice 28

1. Pour $0 \leqslant k \leqslant n - 1$, $$\binom{n}{k+1} \Big/ \binom{n}{k} = \frac{n!\,k!\,(n - k)!}{(k+1)!\,(n - k - 1)!\,n!} = \frac{n - k}{k + 1}.$$ Ce quotient est strictement supérieur à $1$ si et seulement si $n - k > k + 1$, c'est-à-dire $k < \frac{n-1}{2}$, et il vaut $1$ si et seulement si $k = \frac{n-1}{2}$. La famille croît jusqu'au milieu, puis décroît. $$\boxed{\text{Le maximum est atteint en } k = \tfrac{n}{2} \text{ si } n \text{ est pair, en } k = \tfrac{n - 1}{2} \text{ et } k = \tfrac{n + 1}{2} \text{ sinon.}}$$

2. Les $2n + 1$ coefficients $\binom{2n}{k}$ ont pour somme $2^{2n} = 4^{n}$, et le plus grand d'entre eux est $\binom{2n}{n}$. Celui-ci est donc au moins égal à leur moyenne. $$\boxed{\binom{2n}{n} \geqslant \frac{4^{n}}{2n + 1}}$$ Pour $n = 4$, $\binom{8}{4} = 70 \geqslant \frac{256}{9} \approx 28{,}4$ : la minoration est grossière, mais elle donne le bon ordre de grandeur exponentiel. La formule de Stirling, établie plus tard dans l'année, montre que $\binom{2n}{n}$ est équivalent à $\frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}$.