Exercice 29

1. Le produit $P_{n}(1) = \prod \frac{k+1}{k}$ est télescopique, et $P_{n}(-n)$ contient le facteur $1 - \frac{n}{n} = 0$. $$\boxed{P_{n}(0) = 1 \qquad P_{n}(1) = n + 1 \qquad P_{n}(-n) = 0}$$

2. On écrit $$P_{n}(x) = \prod_{k=1}^{n} \frac{k + x}{k} \qquad\text{et}\qquad P_{n}(x - 1) = \prod_{k=1}^{n} \frac{k - 1 + x}{k}.$$ Les numérateurs de $x\,P_{n}(x)$ sont $x$, $x+1$, …, $x+n$, et ceux de $(x + n)\,P_{n}(x - 1)$ sont $x$, $x+1$, …, $x+n-1$, puis $x+n$ : les deux produits ont les mêmes facteurs et le même dénominateur $n!$. $$\boxed{x\,P_{n}(x) = (x + n)\,P_{n}(x - 1)}$$

3. Pour $p \in \mathbb{N}$, le produit des dénominateurs est $n!$, et celui des numérateurs est $$(p+1)(p+2)\cdots(p+n) = \frac{(n+p)!}{p!}.$$

$$\boxed{P_{n}(p) = \binom{n+p}{p}}$$ On peut aussi le démontrer par récurrence sur $p$, à partir de la relation $P_{n}(p) = \frac{p + n}{p}P_{n}(p - 1)$ que donne la question 2.