Exercice 42

1. Par récurrence sur $k$ : c'est vrai pour $k = 1$, la somme étant vide, et si c'est vrai au rang $k$, $$x_{k+1} = a x_{k} + b = a^{k} x_{1} + b\sum_{j=1}^{k-1} a^{j} + b = a^{k} x_{1} + b\sum_{j=0}^{k-1} a^{j}.$$

2. Les $n - 1$ premières équations sont équivalentes aux formules de la question 1, qui expriment $x_{2}$, …, $x_{n}$ en fonction de $x_{1}$. La dernière devient $a^{n}x_{1} + b\sum_{j=0}^{n-1} a^{j} = x_{1}$, soit $$\boxed{(1 - a^{n})\,x_{1} = b\,(1 + a + \cdots + a^{n-1}), \qquad\text{avec}\qquad 1 - a^{n} = (1 - a)(1 + a + \cdots + a^{n-1}).}$$

3. On distingue les cas proposés.

• Si $a^{n} \neq 1$, alors $a \neq 1$ et $1 + a + \cdots + a^{n-1} \neq 0$ : on simplifie, et $x_{1} = \frac{b}{1 - a}$. Ce nombre est le point fixe de $x \mapsto ax + b$, donc tous les $x_{k}$ lui sont égaux.

• Si $a = 1$, l'équation devient $0 = nb$. Si $b \neq 0$, il n'y a pas de solution ; si $b = 0$, les solutions sont les $n$-uplets constants.

• Si $a = -1$ et $n$ est pair, les deux membres sont nuls : $x_{1}$ est quelconque, et les termes alternent entre $x_{1}$ et $b - x_{1}$.

$$\boxed{a = -1,\ n \text{ pair} : (c,\ b - c,\ c,\ b - c,\ \dots,\ c,\ b - c), \ c \in \mathbb{R}}$$ Dans $\mathbb{R}$, ces cas sont exhaustifs, puisque $a^{n} = 1$ impose $|a| = 1$. Le chapitre 4 fera apparaître d'autres racines $n$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{C}$, et donc d'autres solutions lorsque $a$ est complexe.