Exercice 41

1. Pour $(x,y,z) = (0,0,1)$, les premiers membres valent $3$, $1$ et $m - 1$, qui sont les seconds membres.

2. Les plans seraient parallèles si leurs vecteurs de coefficients $(m, 2, 3)$ et $(m - 1, m, 1)$ étaient proportionnels. La troisième composante imposerait $(m, 2, 3) = 3(m - 1, m, 1)$, donc à la fois $m = 3m - 3$ et $2 = 3m$, ce qui est incompatible. Pour $m = 0$, on résout $2y + 3z = 3$ et $-x + z = 1$. $$\boxed{\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} = \Big\{\Big(z - 1,\ \frac{3 - 3z}{2},\ z\Big) \mid z \in \mathbb{R}\Big\} \text{ pour } m = 0}$$

3. Comme $(0, 0, 1)$ est solution, on pose $z = 1 + w$ : le système devient homogène, $$mx + 2y + 3w = 0, \qquad (m - 1)x + my + w = 0, \qquad (m + 1)x + my + (m - 1)w = 0.$$ La deuxième équation donne $w = -(m - 1)x - my$. En reportant dans les deux autres : $$(3 - 2m)x + (2 - 3m)y = 0 \qquad\text{et}\qquad m\big((3 - m)x + (2 - m)y\big) = 0.$$

• Si $m = 0$, la troisième équation disparaît : l'intersection est la droite trouvée à la question 2.

• Si $m \neq 0$, on divise par $m$. En éliminant $x$ ou $y$, on fait apparaître le coefficient $$(3 - 2m)(2 - m) - (2 - 3m)(3 - m) = m(4 - m).$$ Pour $m \neq 4$, il est non nul, et l'on obtient $x = y = 0$, puis $w = 0$.

• Si $m = 4$, les deux équations se réduisent à $x + 2y = 0$, et l'on obtient une droite.

$$\boxed{m \notin \{0, 4\} : \ \{(0, 0, 1)\} \qquad m = 0 \text{ ou } m = 4 : \text{ une droite passant par } (0, 0, 1)}$$ Pour $m = 4$, la droite est $\{(1 - z,\ \frac{z - 1}{2},\ z) \mid z \in \mathbb{R}\}$. Dans les deux cas particuliers, les trois plans ont une droite commune ; sinon, ils se coupent en un seul point.