Exercice 40

Le coefficient $m$ de $x$ dans la première équation peut s'annuler : on prend pour pivot le coefficient $1$ de la troisième. On échange $L_{1}$ et $L_{3}$, puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - mL_{1}$ donne $(1 - m)y - (1 + m)z = -m$. On élimine $y$ grâce à $L_{2}$, dont le pivot vaut $1$ : $L_{3} \leftarrow L_{3} - (1 - m)L_{2}$ donne $$\big(-(1 + m) - 3(1 - m)\big)z = -m - m(1 - m), \qquad\text{soit}\qquad (2m - 4)\,z = m(m - 2).$$

• Si $m \neq 2$, alors $z = \frac{m}{2}$, puis $y = m - 3z = -\frac{m}{2}$ et $x = 1 - y - z = 1$.

• Si $m = 2$, la dernière ligne s'écrit $0 = 0$ : avec le paramètre $z$, on obtient $y = 2 - 3z$ et $x = 1 - y - z = 2z - 1$.

$$\boxed{m \neq 2 : \ \Big(1, -\frac{m}{2}, \frac{m}{2}\Big) \qquad m = 2 : \ \big\{(2z - 1,\ 2 - 3z,\ z) \mid z \in \mathbb{R}\big\}}$$ Piège : si l'on prend $m$ comme premier pivot, il faut traiter à part le cas $m = 0$, qui n'a pourtant rien de particulier : la solution y vaut $(1, 0, 0)$, comme le donne la formule générale.