Exercice 39

1. Les trois conditions s'écrivent $a + b + c = 2$, $4a + 2b + c = 3$, $9a + 3b + c = 6$. Les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ donnent $3a + b = 1$ et $8a + 2b = 4$, puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2L_{2}$ donne $2a = 2$. $$\boxed{a = 1,\ b = -2,\ c = 3 : \ y = x^{2} - 2x + 3}$$

2. Seul le second membre de la troisième équation change, et l'on obtient $2a = 0$, donc $a = 0$, $b = 1$, $c = 1$. $$\boxed{y = x + 1 : \text{ la seule courbe obtenue est une droite.}}$$ Les points $A$, $B$ et $C'$ sont alignés : aucune parabole, au sens strict, ne passe par eux.

La parabole $y = x^{2} - 2x + 3$, en bleu, passe par $A$, $B$ et $C$, et a son sommet en $A$. La droite $y = x + 1$, en ocre, passe par $A$, $B$ et $C'$ : lorsque les trois points sont alignés, la « parabole » dégénère en droite.