Exercice 38

(a) L'opération $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ donne $y + z = 3$, puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ donne $-2z = -2$. La remontée donne $z = 1$, $y = 2$, puis $x = -2y + z = -3$. $$\boxed{(x, y, z) = (-3, 2, 1)}$$

(b) L'opération $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ donne $y + z - t = -1$, puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ donne $-z = 2$. Alors $z = -2$, $t = -1 - z = 1$ par la dernière équation, $y = 1 + t = 2$ et $x = 1 - t = 0$. $$\boxed{(x, y, z, t) = (0, 2, -2, 1)}$$

(c) L'opération $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ donne $-y - 2t = -1$. Les inconnues $z$ et $t$ ne sont en tête d'aucune ligne : ce sont des paramètres. On obtient $y = 1 - 2t$, puis $x = 3 - y - 3z - t = 2 - 3z + t$. $$\boxed{\big\{(2 - 3z + t,\ 1 - 2t,\ z,\ t) \mid (z, t) \in \mathbb{R}^{2}\big\}}$$ L'ensemble des solutions dépend de deux paramètres : deux équations ne suffisent pas à déterminer quatre inconnues.

(d) On échange $L_{1}$ et $L_{2}$, pour avoir un pivot égal à $1$. Les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - 5L_{1}$ donnent $-3y + 5z = -3$ et $-6y + 10z = -6$, puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2L_{2}$ donne $0 = 0$. Avec $z = 3s$ : $$\boxed{\big\{(1 + s,\ 1 + 5s,\ 3s) \mid s \in \mathbb{R}\big\}}$$ La troisième équation initiale est la somme du double de la première et de la deuxième : les trois plans ont une droite commune.