Exercice 37

1. Dans $\big((a + b) + c\big)^{7} = \sum_{j=0}^{7} \binom{7}{j}(a + b)^{7-j}c^{j}$, le terme en $c^{1}$ est $7(a + b)^{6}c$, et le coefficient de $a^{2}b^{4}$ dans $(a + b)^{6}$ est $\binom{6}{2} = 15$. $$\boxed{7 \times 15 = 105 = \frac{7!}{2!\,4!\,1!}}$$

2. De même, le terme en $z^{r}$ de $\big((x + y) + z\big)^{n}$ est $\binom{n}{r}(x + y)^{n-r}z^{r}$, et le coefficient de $x^{p}y^{q}$ dans $(x + y)^{p+q}$ est $\binom{p+q}{p}$. Le produit se simplifie : $$\binom{n}{r}\binom{p+q}{p} = \frac{n!}{r!\,(p+q)!} \cdot \frac{(p+q)!}{p!\,q!}.$$

$$\boxed{\text{Le coefficient de } x^{p}y^{q}z^{r} \text{ est } \frac{n!}{p!\,q!\,r!}}$$ C'est le nombre de façons de choisir, parmi les $n$ facteurs du produit, ceux qui fournissent $x$, ceux qui fournissent $y$ et ceux qui fournissent $z$.