ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 3 — Calcul algébrique · Exercices de synthèse

Exercice 43

Vrai ou fauxDémonstration

Vrai ou faux. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse par une démonstration ou un contre-exemple. Les entiers $n$ sont supposés non nuls.

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} 2 = 2n$ .

2. Pour tous réels $a_{1}$ , …, $a_{n}$ , $\displaystyle\prod_{k=1}^{n} (3a_{k}) = 3^{n} \prod_{k=1}^{n} a_{k}$ .

3. Pour tous réels $a_{1}$ , …, $a_{n}$ , $\displaystyle\Big(\sum_{k=1}^{n} a_{k}\Big)^{2} = \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}$ .

4. Pour toute suite $(u_{k})$ , $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (u_{k+1} - u_{k}) = u_{n+1} - u_{1}$ .

5. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^{k} = 3^{n}$ .

6. Pour tout $n \geqslant 1$ , le coefficient $\dbinom{2n}{n}$ est pair.

7. Pour tout $n \geqslant 1$ , le nombre de couples $(i,j)$ d'entiers tels que $1 \leqslant i < j \leqslant n$ est $\dfrac{n(n-1)}{2}$ .

8. Pour toute famille de réels, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} a_{i,j}$ .

9. L'opération $L_{1} \leftarrow L_{1} + L_{2}$ , suivie de l'opération $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ , transforme un système en un système équivalent.

10. Un système de trois équations linéaires à deux inconnues n'a jamais de solution.

Corrigé

1. Fausse La somme comporte $n + 1$ termes égaux à $2$ : elle vaut $2(n + 1)$ .

2. Vraie Chacun des $n$ facteurs fournit un facteur $3$ .

3. Fausse Pour $n = 2$ et $a_{1} = a_{2} = 1$ , on trouve $4 \neq 2$ : il manque les termes rectangles.

4. Vraie C'est une somme télescopique.

5. Vraie C'est la formule du binôme pour $(1 + 2)^{n}$ .

6. Vraie Par la formule de Pascal et la symétrie, $\binom{2n}{n} = \binom{2n-1}{n-1} + \binom{2n-1}{n} = 2\binom{2n-1}{n-1}.$

7. Vraie Ces couples correspondent aux parties $\{i, j\}$ à deux éléments de $[\![1\,;n]\!]$ , qui sont au nombre de $\dbinom{n}{2}$ .

8. Fausse Pour $n = 2$ , avec $a_{2,1} = 1$ et les autres termes nuls, le membre de gauche contient le terme $a_{2,1}$ et vaut $1$ , alors que le membre de droite ne porte que sur les couples $i \leqslant j$ et vaut $0$ . L'interversion correcte est $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} a_{i,j}.$

9. Vraie Les deux opérations, effectuées l'une après l'autre, sont des opérations élémentaires : la seconde utilise la ligne $L_{1}$ , déjà modifiée, mais distincte de $L_{2}$ .

10. Fausse Le système $x = 0$ , $y = 0$ , $x + y = 0$ a une solution. Un tel système est souvent incompatible, mais pas toujours.

$\boxed{\text{Vraies : 2, 4, 5, 6, 7, 9. \quad Fausses : 1, 3, 8, 10.}}$ Piège : l'affirmation 9 est vraie. Ce sont les opérations simultanées $L_{1} \leftarrow L_{1} + L_{2}$ et $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ que dénonce le cours ; ce qui compte, c'est que chaque étape soit réversible.

Énoncé PDF, p. 11 Corrigé PDF, p. 20 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Sommes, produits et puissances Ensembles finis et principe des tiroirs Théorème du rang Algèbre linéaire Binôme de Newton et coefficients binomiaux

Thèmes

produits, coefficients binomiaux, systèmes linéaires

Notions

coefficient binomial