Exercice 44

1. Avec $x_{0} = 0$ et $x_{4} = 4$, la condition (V) s'écrit $2x_{k} = x_{k-1} + x_{k+1}$ pour $k = 1, 2, 3$, et la condition (T) dit que $4x_{k}$ est égal à la somme des quatre autres termes. On obtient les deux systèmes suivants : $$\text{(V)}\ \left\{ \begin{array}{rcrcrcl} 2x_{1} & - & x_{2} & & & = & 0 \\ -x_{1} & + & 2x_{2} & - & x_{3} & = & 0 \\ & & -x_{2} & + & 2x_{3} & = & 4 \end{array} \right. \qquad\qquad \text{(T)}\ \left\{ \begin{array}{rcrcrcl} 4x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & = & 4 \\ -x_{1} & + & 4x_{2} & - & x_{3} & = & 4 \\ -x_{1} & - & x_{2} & + & 4x_{3} & = & 4 \end{array} \right.$$ Pour (V), on échange $L_{1}$ et $L_{2}$ afin de disposer du pivot $-1$, puis $L_{2} \leftarrow L_{2} + 2L_{1}$ donne $3x_{2} - 2x_{3} = 0$. On échange alors $L_{2}$ et $L_{3}$, et $L_{3} \leftarrow L_{3} + 3L_{2}$ donne $4x_{3} = 12$. La remontée donne $x_{3} = 3$, puis $x_{2} = 2x_{3} - 4 = 2$ et $x_{1} = 2x_{2} - x_{3} = 1$.

Pour (T), on échange de même $L_{1}$ et $L_{2}$, puis $L_{2} \leftarrow L_{2} + 4L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ donnent $15x_{2} - 5x_{3} = 20$ et $-5x_{2} + 5x_{3} = 0$. On échange $L_{2}$ et $L_{3}$, et $L_{3} \leftarrow L_{3} + 3L_{2}$ donne $10x_{3} = 20$. La remontée donne $x_{3} = 2$, puis $x_{2} = x_{3} = 2$ et $x_{1} = 4x_{2} - x_{3} - 4 = 2$. $$\boxed{\text{(V)} : (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (1, 2, 3) \qquad\qquad \text{(T)} : (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (2, 2, 2)}$$

2. Pour $k \in [\![1\,;n]\!]$, la condition $2x_{k} = x_{k-1} + x_{k+1}$ s'écrit $x_{k+1} - x_{k} = x_{k} - x_{k-1}$. Notons $d_{k} = x_{k+1} - x_{k}$ pour $k \in [\![0\,;n]\!]$ : on a $d_{k} = d_{k-1}$ pour $1 \leqslant k \leqslant n$, donc, de proche en proche, $d_{k} = d_{0}$ pour tout $k \in [\![0\,;n]\!]$. La somme des $d_{k}$ est télescopique : $$\beta - \alpha = x_{n+1} - x_{0} = \sum_{k=0}^{n} (x_{k+1} - x_{k}) = (n + 1)\,d_{0}.$$ Ainsi $d_{0} = \frac{\beta - \alpha}{n + 1}$, et, par un nouveau télescopage, $x_{k} = x_{0} + \sum_{j=0}^{k-1} d_{j} = \alpha + k\,d_{0}$. Réciproquement, cette famille est en progression arithmétique, de premier terme $\alpha$ et de dernier terme $\beta$, et chacun de ses termes intérieurs est la moyenne de ses deux voisins. $$\boxed{\forall k \in [\![0\,;n+1]\!], \quad x_{k} = \alpha + \frac{k\,(\beta - \alpha)}{n + 1} = \frac{(n + 1 - k)\,\alpha + k\,\beta}{n + 1}}$$ Pour $n = 3$, $\alpha = 0$ et $\beta = 4$, on retrouve $x_{k} = k$, conformément à la question 1. ✓

3. Pour $k \in [\![1\,;n]\!]$, la somme des $n + 1$ réels autres que $x_{k}$ vaut $S - x_{k}$, donc la condition (T) s'écrit $(n + 1)\,x_{k} = S - x_{k}$, c'est-à-dire $$(n + 2)\,x_{k} = S.$$ Les $n$ réels $x_{1}$, …, $x_{n}$ sont donc égaux à un même réel $c = \frac{S}{n + 2}$. En reportant dans la définition de $S$, on obtient $S = \alpha + \beta + nc$, et l'égalité $(n + 2)\,c = \alpha + \beta + nc$ donne $c = \frac{\alpha + \beta}{2}$. Réciproquement, si $x_{1} = \cdots = x_{n} = c$, la moyenne des réels autres que $x_{k}$ vaut $$\frac{\alpha + \beta + (n - 1)\,c}{n + 1} = \frac{2c + (n - 1)\,c}{n + 1} = c,$$ et la condition (T) est vérifiée. $$\boxed{x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = \frac{\alpha + \beta}{2}}$$ Les deux profils sont très différents. Dans le modèle (V), où chaque point n'échange de chaleur qu'avec ses deux voisins, la température varie de façon affine le long de la barre : c'est le profil d'une barre en régime permanent. Dans le modèle (T), où chaque point échange avec tous les autres, l'intérieur est à une température uniforme, égale à la moyenne des températures des extrémités, quel que soit le nombre de points.

À retenir : on a résolu deux systèmes de $n$ équations à $n$ inconnues sans effectuer de pivot, en exploitant leur structure : une somme télescopique pour le premier, la somme $S$ de toutes les inconnues pour le second. La feuille du chapitre 16 reprendra le modèle (V) en dimension deux, sur une grille dont chaque coefficient intérieur est la moyenne de ses quatre voisins.