Exercice 46

1. On a $E_{n,1} = \{(n)\}$ et $E_{n,2} = \{(k, n - k) \mid k \in [\![0\,;n]\!]\}$, qui a $n + 1$ éléments. $$\boxed{E_{2,3} = \{(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\}, \text{ de cardinal } 6}$$

2. Notons $s_{i} = x_{1} + \cdots + x_{i} + i$ pour $1 \leqslant i \leqslant p - 1$. On a $s_{1} \geqslant 1$, $s_{i+1} - s_{i} = x_{i+1} + 1 \geqslant 1$, et $s_{p-1} = n - x_{p} + p - 1 \leqslant n + p - 1$ : les $s_{i}$ sont strictement croissants et forment une partie à $p - 1$ éléments de $[\![1\,;n+p-1]\!]$. Réciproquement, à une partie $\{s_{1} < \cdots < s_{p-1}\}$, on associe, avec $s_{0} = 0$ et $s_{p} = n + p$, $$x_{i} = s_{i} - s_{i-1} - 1 \geqslant 0, \qquad\text{de somme}\qquad \sum_{i=1}^{p} x_{i} = s_{p} - s_{0} - p = n,$$ par télescopage. Les deux applications sont réciproques l'une de l'autre, et le théorème 1 du cours donne le cardinal. $$\boxed{\mathrm{card}(E_{n,p}) = \binom{n+p-1}{p-1}}$$

Pour $n = 6$ et $p = 3$, on aligne $n + p - 1 = 8$ cases, et l'on place $p - 1 = 2$ barres, en ocre, dans les cases $3$ et $5$ : les billes bleues situées avant, entre et après les barres sont au nombre de $2$, $1$ et $3$. Choisir une solution revient à choisir la position des barres.

3. En posant $y_{i} = x_{i} - 1$, les $p$-uplets d'entiers strictement positifs de somme $n$ correspondent bijectivement aux éléments de $E_{n-p,p}$, lorsque $n \geqslant p$. $$\boxed{\binom{n-1}{p-1} \text{ solutions, ce qui reste valable, et vaut } 0, \text{ si } n < p}$$

4. On applique les deux résultats avec $n = 10$ et $p = 4$. $$\boxed{\binom{13}{3} = 286 \text{ répartitions, dont } \binom{9}{3} = 84 \text{ où chaque enfant reçoit au moins un bonbon}}$$