Exercice 34

1. On calcule $S_{0}, \dots, S_{7}$ : $$\boxed{1,\ 1,\ 0,\ -1,\ -1,\ 0,\ 1,\ 1}$$ La suite semble périodique de période $6$.

2. La même manipulation qu'à l'exercice 33, avec le signe $(-1)^{k}$, donne $$S_{n+2} = \sum_{k \geqslant 0} (-1)^{k}\binom{n+1-k}{k} + \sum_{k \geqslant 1} (-1)^{k}\binom{n+1-k}{k-1} = S_{n+1} - S_{n},$$ le changement d'indice $j = k - 1$ faisant apparaître le signe $-1$. Alors $S_{n+3} = S_{n+2} - S_{n+1} = -S_{n}$.

3. On en déduit $S_{n+6} = -S_{n+3} = S_{n}$, et la suite est déterminée par ses six premiers termes. $$\boxed{S_{n} = 1, 1, 0, -1, -1, 0 \text{ selon que } n \equiv 0, 1, 2, 3, 4, 5 \;[6]}$$ Le chapitre 4 en donnera l'explication : les racines de $r^{2} = r - 1$ sont les nombres complexes $\mathrm{e}^{\pm \mathrm{i}\pi/3}$, dont la puissance sixième vaut $1$.