Exercice 35

1. On écrit $k(k+1)(k+2) = 6\binom{k+2}{3}$, puis la formule de la crosse de hockey, après le changement d'indice $j = k + 2$ : $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = 6\sum_{j=3}^{n+2} \binom{j}{3} = 6\binom{n+3}{4}.$$

2. On cherche $a$, $b$, $c$ tels que $k^{3} = a\frac{k(k-1)(k-2)}{6} + b\frac{k(k-1)}{2} + ck$ ; les valeurs $k = 1, 2, 3$ donnent $c = 1$, $b = 6$, $a = 6$. $$k^{3} = 6\binom{k}{3} + 6\binom{k}{2} + \binom{k}{1}, \qquad \sum_{k=0}^{n} k^{3} = 6\binom{n+1}{4} + 6\binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2}.$$

3. Le produit vaut $\frac{(k+m)!}{k!} = m!\binom{k+m}{m}$, et la crosse de hockey donne $\sum_{k=0}^{n} \binom{k+m}{m} = \binom{n+m+1}{m+1}$. $$\boxed{\sum_{k=0}^{n} \prod_{p=1}^{m} (k + p) = m!\binom{n+m+1}{m+1} = \frac{(n+m+1)!}{(m+1)\,n!}}$$ Pour $m = 1$, on retrouve $\sum_{k=0}^{n} (k + 1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$. À retenir : les produits de facteurs consécutifs, appelés factorielles montantes, se somment aussi simplement que les puissances se dérivent ; c'est pourquoi on exprime les puissances à l'aide de coefficients binomiaux pour les sommer.