Exercice 53

1. Sur un segment $I_{n,j}$ où $f_{n}$ va de la valeur $A$ à la valeur $B$, de pente $s = 3^{n}(B - A)$, on pose $d = B - A$. Les valeurs de $f_{n}$ au tiers et aux deux tiers sont $A + \frac{d}{3}$ et $A + \frac{2d}{3}$ ; celles de $f_{n+1}$ aux quatre points de rang $n + 1$ de $I_{n,j}$ sont donc, dans l'ordre, $$A, \qquad A + \frac{2d}{3}, \qquad A + \frac{d}{3}, \qquad B = A + d.$$ Sur chaque tiers, de longueur $3^{-(n+1)}$, les accroissements sont $\frac{2d}{3}$, $-\frac{d}{3}$ et $\frac{2d}{3}$, d'où les pentes $$\boxed{2s, \qquad -s, \qquad 2s}$$ Comme $f_{0}$ a pour pente $1$, une récurrence immédiate montre que chaque pente de $f_{n}$ est de la forme $\pm 2^{p}$ avec $0 \leqslant p \leqslant n$ : $\boxed{\text{les pentes de } f_{n} \text{ sont non nulles, de valeur absolue au plus } 2^{n}}$.

On en déduit les valeurs aux points de rang $1$ et $2$ : $f_{1}$ prend les valeurs $0$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{3}$, $1$ aux points $0$, $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $1$, et $f_{2}$ prend aux points $\frac{i}{9}$, pour $i$ allant de $0$ à $9$, les valeurs $$0, \quad \tfrac{4}{9}, \quad \tfrac{2}{9}, \quad \tfrac{2}{3}, \quad \tfrac{4}{9}, \quad \tfrac{5}{9}, \quad \tfrac{1}{3}, \quad \tfrac{7}{9}, \quad \tfrac{5}{9}, \quad 1.$$

Chaque fonction coïncide avec la précédente aux points de rang précédent (lignes grises foncées pour le rang $1$) ; sur chaque segment, elle remplace la pente $s$ par le motif « monter du double, redescendre, remonter du double », de sorte que la courbe devient de plus en plus hérissée.

2. Sur $I_{n,j}$, avec les notations de la question 1, la fonction $f_{n+1} - f_{n}$ est affine sur chaque tiers, nulle aux extrémités, et vaut $\frac{2d}{3} - \frac{d}{3} = \frac{d}{3}$ au tiers et $\frac{d}{3} - \frac{2d}{3} = -\frac{d}{3}$ aux deux tiers. Une fonction affine sur un segment atteint ses extrema aux extrémités, donc $|f_{n+1} - f_{n}| \leqslant \frac{|d|}{3}$ sur $I_{n,j}$. Or $|d| = |s|\,3^{-n} \leqslant \big(\frac{2}{3}\big)^{n}$ par la question 1. $$\boxed{|f_{n+1}(x) - f_{n}(x)| \leqslant \frac{1}{3}\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n}}$$ Posons $u_{n} = f_{n}(x) - \big(\frac{2}{3}\big)^{n}$ et $v_{n} = f_{n}(x) + \big(\frac{2}{3}\big)^{n}$. Comme $\big(\frac{2}{3}\big)^{n} - \big(\frac{2}{3}\big)^{n+1} = \frac{1}{3}\big(\frac{2}{3}\big)^{n}$, on a $$u_{n+1} - u_{n} = f_{n+1}(x) - f_{n}(x) + \frac{1}{3}\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n} \geqslant 0 \qquad\text{et}\qquad v_{n+1} - v_{n} = f_{n+1}(x) - f_{n}(x) - \frac{1}{3}\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n} \leqslant 0.$$ De plus $v_{n} - u_{n} = 2\big(\frac{2}{3}\big)^{n}$ tend vers $0$ : les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes. Par le théorème des suites adjacentes (chapitre 7, théorème 9), elles convergent vers une limite commune $f(x)$, avec $u_{n} \leqslant f(x) \leqslant v_{n}$, et $(f_{n}(x))$, qui est leur demi-somme, converge aussi vers $f(x)$. $$\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} f_{n}(x) = f(x) \qquad\text{et}\qquad |f_{n}(x) - f(x)| \leqslant \Big(\frac{2}{3}\Big)^{n}}$$

3. Soit $x \in [0\,,1]$ et $\varepsilon > 0$. On choisit $n$ tel que $\big(\frac{2}{3}\big)^{n} \leqslant \frac{\varepsilon}{3}$, puis, $f_{n}$ étant continue en $x$, un réel $\delta > 0$ tel que $|f_{n}(y) - f_{n}(x)| \leqslant \frac{\varepsilon}{3}$ pour $y \in [0\,,1]$ et $|y - x| \leqslant \delta$. Pour ces $y$, la question 2 donne $$|f(y) - f(x)| \leqslant |f(y) - f_{n}(y)| + |f_{n}(y) - f_{n}(x)| + |f_{n}(x) - f(x)| \leqslant \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.$$ Ainsi $\boxed{f \text{ est continue sur } [0\,,1]}$. Le majorant $\big(\frac{2}{3}\big)^{n}$ ne dépendant pas de $x$, une seule fonction $f_{n}$ sert pour tous les points : c'est ce qui rend l'argument possible.

Un point de rang $n$ est aussi de rang $m$ pour tout $m \geqslant n$, puisque $\frac{j}{3^{n}} = \frac{3^{m-n}j}{3^{m}}$, et $f_{m+1}$ coïncide avec $f_{m}$ aux points de rang $m$. La suite $(f_{m}(x))_{m \geqslant n}$ est donc constante, et sa limite est son premier terme. $$\boxed{f(x) = f_{n}(x) \text{ pour tout point } x \text{ de rang } n}$$

4. Pour $m \geqslant N$, le point $x$ est de rang $m$, extrémité gauche du segment $J_{m} = [x\,,x + 3^{-m}]$ de rang $m$ ; notons $s_{m}$ la pente de $f_{m}$ sur $J_{m}$, de sorte que $s_{N} = s$. Le segment $J_{m+1}$ est le premier tiers de $J_{m}$, où la pente de $f_{m+1}$ est $2s_{m}$ par la question 1 : ainsi $s_{m} = 2^{m-N}s$. Les deux extrémités de $J_{m}$ étant de rang $m$, la question 3 donne $$3^{m}\big(f(x + 3^{-m}) - f(x)\big) = 3^{m}\big(f_{m}(x + 3^{-m}) - f_{m}(x)\big) = s_{m} = 2^{m-N}s.$$ Comme $|s| \geqslant 1$, ce taux d'accroissement tend vers $\pm\infty$ quand $m$ tend vers $+\infty$, alors que $3^{-m}$ tend vers $0$. Si $f$ était dérivable en $x$, ce taux tendrait vers $f'(x)$ par composition des limites. $$\boxed{f \text{ n'est pas dérivable en } x}$$ Pour $x = 0$, on a $N = 0$ et $s = 1$, d'où $\boxed{f(3^{-m}) = \big(\tfrac{2}{3}\big)^{m}}$ : la fonction $f$ coïncide avec $x \mapsto 2^{m}x$ sur $[0\,,3^{-m}]$ en ses deux extrémités, et sa pente moyenne y vaut $2^{m}$. Au point $1$, on raisonne de même avec les segments $[1 - 3^{-m}\,,1]$ : chacun est le dernier tiers du précédent, où la pente est aussi doublée, et le taux $3^{m}\big(f(1) - f(1 - 3^{-m})\big) = 2^{m}$ tend vers $+\infty$. Le même raisonnement, à gauche, s'applique d'ailleurs à tout point de rang $N$ strictement positif.

5.(a) Posons $T(t) = \frac{h(t) - h(a)}{t - a}$ pour $t \neq a$, de limite $h'(a)$ en $a$. En écrivant $$h(a + \eta_{n}) - h(a - \xi_{n}) = \big(h(a + \eta_{n}) - h(a)\big) + \big(h(a) - h(a - \xi_{n})\big),$$ on obtient $$\frac{h(a + \eta_{n}) - h(a - \xi_{n})}{\xi_{n} + \eta_{n}} = \lambda_{n}\,T(a + \eta_{n}) + (1 - \lambda_{n})\,T(a - \xi_{n}), \qquad\text{avec}\qquad \lambda_{n} = \frac{\eta_{n}}{\xi_{n} + \eta_{n}} \in \,]0\,,1[.$$ Le quotient est une moyenne pondérée de deux taux d'accroissement. Comme $\lambda_{n}$ et $1 - \lambda_{n}$ sont positifs de somme $1$, $$\Big|\frac{h(a + \eta_{n}) - h(a - \xi_{n})}{\xi_{n} + \eta_{n}} - h'(a)\Big| \leqslant \big|T(a + \eta_{n}) - h'(a)\big| + \big|T(a - \xi_{n}) - h'(a)\big| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0,$$ par la caractérisation séquentielle de la limite (chapitre 8, théorème 1). $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \frac{h(a + \eta_{n}) - h(a - \xi_{n})}{\xi_{n} + \eta_{n}} = h'(a)}$$ La positivité de $\xi_{n}$ et de $\eta_{n}$ est essentielle : elle garantit que $\lambda_{n} \in \,]0\,,1[$, donc que le quotient est une moyenne des deux taux et que leurs erreurs ne sont pas amplifiées. Le point $a$ doit être situé entre les deux points de la corde.

(b) Comme $x$ n'est pas un point de rang $n$, il est intérieur à un unique segment $I_{n,j_{n}} = \big[\frac{j_{n}}{3^{n}}\,,\frac{j_{n} + 1}{3^{n}}\big]$. Le segment $I_{n+1,j_{n+1}}$ contient $x$ et est l'un des trois tiers d'un segment de rang $n$, qui contient donc aussi $x$ : c'est $I_{n,j_{n}}$. Par la question 1, $\boxed{\sigma_{n+1} \in \{2\sigma_{n}, -\sigma_{n}\}}$.

Supposons $f$ dérivable en $x$, et posons $\xi_{n} = x - \frac{j_{n}}{3^{n}} > 0$ et $\eta_{n} = \frac{j_{n} + 1}{3^{n}} - x > 0$, de somme $3^{-n}$. Les extrémités de $I_{n,j_{n}}$ étant de rang $n$, la question 3 donne $$\frac{f(x + \eta_{n}) - f(x - \xi_{n})}{\xi_{n} + \eta_{n}} = 3^{n}\Big(f_{n}\Big(\frac{j_{n} + 1}{3^{n}}\Big) - f_{n}\Big(\frac{j_{n}}{3^{n}}\Big)\Big) = \sigma_{n},$$ et la question (a) montre que $(\sigma_{n})$ converge vers $f'(x)$. Or $|\sigma_{n}| = 2^{p_{n}}$, où $(p_{n})$ est une suite croissante d'entiers, qui augmente de $1$ à chaque doublement. Si $(p_{n})$ augmentait une infinité de fois, elle tendrait vers $+\infty$, et $(\sigma_{n})$ ne serait pas bornée. Elle est donc constante à partir d'un rang $n_{0}$, et alors $\sigma_{n+1} = -\sigma_{n}$ pour $n \geqslant n_{0}$ : la suite $(\sigma_{n})$ prend alternativement les valeurs $\sigma_{n_{0}}$ et $-\sigma_{n_{0}}$, distinctes puisque $\sigma_{n_{0}} \neq 0$, et elle ne converge pas. C'est une contradiction. $$\boxed{f \text{ n'est dérivable en aucun point de } [0\,,1]}$$

À retenir. Le chapitre 8 a annoncé l'existence de fonctions continues dérivables nulle part, comme celle que Weierstrass a présentée en 1872 ; on en a construit une ici avec les seuls outils de l'année : suites adjacentes, continuité par une majoration uniforme, et taux d'accroissement. L'idée tient en une phrase : à chaque étape, sur chaque segment, la pente est multipliée par $2$ ou par $-1$, de sorte que les pentes moyennes autour d'un point ou bien explosent, ou bien changent de signe indéfiniment. Ni l'un ni l'autre n'est compatible avec l'existence d'une tangente. La proposition 1 du cours, selon laquelle une fonction dérivable est continue, n'a donc aucune réciproque, même partielle.