Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 9

Dérivabilité et convexité

55 exercices corrigés · 8   29   16   2

Dérivabilité en un point

• Exercice 1 En reconnaissant un taux d'accroissement, calculer les limites suivantes. (a) lim _(x → 0) (e^(3x + 2) - e^2)/x (b) lim _(x → 1) (ln (2 - x))/(x -…
• Exercice 2 Préciser le domaine de définition des fonctions suivantes, puis étudier leur dérivabilité aux points indiqués, ou en tout point du domaine. (a) f: x…
• Exercice 3 Dérivabilité de |f|. Soit f: ℝ → ℝ dérivable, et a ∈ ℝ. 1. On suppose f(a) ≠ 0. Montrer que |f| est dérivable en a, et calculer |f|'(a). 2. On…
• Exercice 4 Soit f: ℝ → ℝ et a ∈ ℝ. 1. On suppose f dérivable en a. Montrer que lim _(h → 0) (f(a + h) - f(a - h))/2h = f'(a). 2. La réciproque est-elle vraie ?…
• Exercice 5 Soit f: ℝ → ℝ dérivable en 0, avec f(0) = 0. Montrer que la suite de terme général u_n = Σ_(k=1)^n f (k/(n^2)) converge, et déterminer sa limite. On…
• Exercice 6 1. Que peut-on dire de la dérivée d'une fonction dérivable paire ? impaire ? périodique ? 2. Soit f: [0,1] → ℝ dérivable, telle que f(0) = f(1). On…
• Exercice 7 Tangentes. 1. Montrer que les courbes d'équations y = x^2 et y = 1/x admettent une unique tangente commune, et en donner une équation. 2. Pour tout…
• Exercice 8 Équations fonctionnelles et dérivabilité. 1. Déterminer les fonctions dérivables f: ℝ → ℝ telles que f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous réels x et y.…
• Exercice 9 Soit f une fonction définie au voisinage de 0, continue en 0, telle que lim _(x → 0) (f(2x) - f(x))/x = 3. 1. Soit ε > 0 et δ > 0 tel que |f(2t) -…
• Exercice 10 Dérivée d'une réciproque. 1. Montrer que f: x ↦ e^x + x est une bijection de ℝ sur ℝ. Justifier que f^(-1) est dérivable, et calculer (f^(-1))'(1),…

Extrema, théorèmes de Rolle et des accroissements finis

• Exercice 11 1. Déterminer le plus grand élément de l'ensemble n^(1/n) mid n ∈ ℕ^(). 2. Déterminer les extrema locaux de x ↦ x^3 - 3x sur ℝ, puis ses extrema…
• Exercice 12 Soit a, b et c trois réels. Montrer qu'il existe x ∈ ]0,1[ tel que 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx = a + b + c.
• Exercice 13 Pas trop de racines. Soit n ≥ 2, p et q deux réels, et P: x ↦ x^n + px + q. 1. Montrer que P s'annule au plus trois fois sur ℝ. 2. Si n est pair,…
• Exercice 14 Rolle à l'infini. 1. Soit f: [0,+∞[ → ℝ continue, dérivable sur ]0,+∞[, telle que lim _(x → +∞) f(x) = f(0). On suppose f non constante. En…
• Exercice 15 Une tangente passant par un point donné. Soit f: [a,b] → ℝ continue, dérivable sur ]a,b[, telle que f(a) = f(b) = 0, et d un réel extérieur à [a,b].…
• Exercice 16 Soit P une fonction polynomiale. Montrer que l'équation P(x) = e^x n'a qu'un nombre fini de solutions réelles. On raisonnera par récurrence sur le…
• Exercice 17 Inégalités par les accroissements finis. Démontrer les inégalités suivantes. (a) Pour tous réels x et y, | Arctan x - Arctan y| ≤ |x - y|. (b) Pour…
• Exercice 18 1. Montrer que, pour tout x > 0, 1/(x + 1) < ln (x + 1) - ln x < 1/x. 2. Soit v_n = Σ _(k=n+1)^2n 1/k. Montrer que ln (2n + 1) - ln (n + 1) < v_n <…
• Exercice 19 Soit f: [0,1] → ℝ de classe C^1, telle que f(0) = 0 et f'(x) > 0 pour tout x ∈ [0,1]. 1. Montrer qu'il existe m > 0 tel que f(x) ≥ mx pour tout x ∈…
• Exercice 20 Comportement à l'infini. Soit f: ]0,+∞[ → ℝ dérivable. 1. On suppose lim _(x → +∞) f'(x) = ell, avec ell réel. Montrer que lim _(x → +∞) (f(x))/x =…
• Exercice 21 Suites récurrentes. Étudier la convergence des suites suivantes, et, lorsque c'est possible, majorer |u_n - ell | par une suite géométrique. (a) u_0…
• Exercice 22 Fonctions höldériennes. Soit α > 1 et f: I → ℝ, où I est un intervalle, telle qu'il existe C > 0 vérifiant |f(x) - f(y)| ≤ C|x - y|^α pour tous x, y…
• Exercice 23 Théorème de Darboux. Soit I un intervalle et f: I → ℝ dérivable. 1. Soit a < b dans I tels que f'(a) < 0 < f'(b). Montrer que f atteint son minimum…
• Exercice 24 Accroissements finis généralisés. Soit f et g continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[, telles que g' ne s'annule pas sur ]a,b[. 1. Montrer que…
• Exercice 25 Corde et tangente. Soit f: [0,1] → ℝ de classe C^1, telle que f(0) = f'(0) = f'(1) = 0. On veut montrer qu'il existe c ∈ ]0,1] tel que f'(c) =…
• Exercice 26 Soit n ≥ 1 et f: [0,1] → ℝ dérivable, telle que f(0) = 0 et f(1) = 1. 1. Montrer qu'il existe des réels 0 = y_0 < y_1 < … < y_n = 1 tels que f(y_k)…

Fonctions de classe $\mathcal{C}^{k}$

• Exercice 27 Calculer, pour tout n ∈ ℕ, la dérivée n -ième des fonctions suivantes, en choisissant à chaque fois la méthode la plus adaptée. (a) x ↦ a^x, avec a…
• Exercice 28 Soit n ≥ 1. 1. Pour 0 ≤ k ≤ n, calculer les dérivées k -ièmes de x ↦ x^(n-1) et de x ↦ ln (1 + x). 2. En déduire, à l'aide de la formule de Leibniz,…
• Exercice 29 Prolonger si nécessaire par continuité les fonctions suivantes, puis déterminer la plus grande classe C^k de la fonction obtenue. (a) x ↦ x^2sin 1/x…
• Exercice 30 Une fonction plate. Soit f: ℝ → ℝ définie par f(x) = e^(-1/x) si x > 0, et f(x) = 0 si x ≤ 0. 1. Montrer que f est de classe C^∞ sur ]0,+∞[, et…
• Exercice 31 On définit sur ]0,1[ une suite de fonctions par f_0(x) = 1/(1 - x) et f_(n+1)(x) = x f_n'(x). 1. Calculer f_1 et f_2. 2. Montrer que, pour tout n,…
• Exercice 32 Rolle et dérivées successives. 1. Soit f de classe C^2 sur [a,b], telle que f(a) = f'(a) et f(b) = f'(b). Montrer qu'il existe c ∈ ]a,b[ tel que…

Fonctions à valeurs complexes

• Exercice 33 Soit f: x ↦ e^x√3sin x. En écrivant f comme la partie imaginaire d'une fonction à valeurs complexes, montrer que ∀ n ∈ ℕ, ∀ x ∈ ℝ, f^((n))(x) = 2^n…
• Exercice 34 1. Montrer que, pour tous réels s et t, | e^(i t) - e^(i s)| ≤ |t - s|. Interpréter géométriquement cette inégalité. 2. Soit f: ℝ → ℂ de classe C^1…

Fonctions convexes

• Exercice 35 Démontrer les inégalités suivantes, en reconnaissant chaque fois la position d'une courbe par rapport à une tangente ou à une corde. (a) Bernoulli.…
• Exercice 36 Avec l'inégalité de Jensen. 1. Étudier la convexité de φ: t ↦ 1/(1 + e^t) sur ℝ. En déduire que, pour tous réels x_1, …, x_n ≥ 1, Σ_(k=1)^n 1/(1 +…
• Exercice 37 1. Montrer que f: x ↦ ln (1 + e^x) est convexe sur ℝ. 2. En déduire que, pour tous réels x_1, …, x_n strictement positifs, 1 + (Π_(k=1)^n x_k)^(1/n)…
• Exercice 38 Opérations sur les fonctions convexes. Soit I un intervalle. 1. Soit f: I → ℝ convexe et g: J → ℝ convexe et croissante, où J est un intervalle…
• Exercice 39 Comportement global d'une fonction convexe. Soit f: ℝ → ℝ convexe. 1. Montrer que si f admet un minimum local en a, c'est un minimum global. Que…
• Exercice 40 Majorer f à l'aide de f''. Soit f: [a,b] → ℝ de classe C^2 telle que f(a) = f(b) = 0. On note M = sup _([a,b]) |f''| et, pour x ∈ [a,b], g(x) = f(x)…
• Exercice 41 La concentration d'un médicament. La concentration d'un médicament dans le sang, x heures après l'injection, est modélisée par f(x) = (x + 2)…
• Exercice 42 Algorithme de trichotomie. Soit f: [a,b] → ℝ convexe et continue. On pose a_1 = (2a + b)/3, a_2 = (a + 2b)/3, et μ = (f(a_2) - f(a_1))/(a_2 - a_1).…
• Exercice 43 Une hypothèse affaiblie. Soit f: ℝ → ℝ continue, telle que ∀ (x, y) ∈ ℝ^2, f ((x + y)/2) ≤ (f(x) + f(y))/2. 1. Montrer par récurrence sur n que,…
• Exercice 44 Une fonction convexe est continue. Soit f convexe sur un intervalle ouvert I, et a ∈ I. On note tau _a: x ↦ (f(x) - f(a))/(x - a) le taux…
• Exercice 45 Inégalités de Young et de Hölder. Soit p et q deux réels strictement supérieurs à 1 tels que 1/p + 1/q = 1. 1. Montrer que, pour tous réels x, y >…
• Exercice 46 Soit f: ]0,+∞[ → ℝ deux fois dérivable. Montrer que x ↦ x f(x) est convexe si et seulement si x ↦ f (1/x) est convexe. Application: montrer que x ↦…

Exercices de synthèse

• Exercice 47 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. 1. Si f est dérivable en a, alors f est continue sur un…
• Exercice 48 Une dérivée strictement positive en un point ne donne pas la croissance. Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x + 2x^2sin 1/x si x ≠ 0, et…
• Exercice 49 Différences finies. Soit I un intervalle tel que t + 1 ∈ I pour tout t ∈ I, par exemple ℝ ou ]0,+∞[. Pour f: I → ℝ, on note Δ f la fonction x ↦ f(x…
• Exercice 50 Soit f: ℝ → ℝ dérivable telle que f(x)^2 + (1 + f'(x))^2 ≤ 1 pour tout réel x. On veut montrer que f est nulle. 1. Montrer que |f| ≤ 1 et que -2 ≤…
• Exercice 51 Soit P une fonction polynomiale de degré n ≥ 1, à valeurs positives sur ℝ, et Q = P + P' + P'' + … + P^((n)). On veut montrer que Q est aussi à…
• Exercice 52 Un nombre transcendant. On dit qu'un réel x est algébrique s'il existe une fonction polynomiale non nulle P, à coefficients entiers, telle que P(x)…
• Exercice 53 Une fonction continue qui n'est dérivable en aucun point. Pour n ∈ ℕ, on appelle points de rang n les réels j/(3^n), avec j ∈ [ [0;3^n] ], et l'on…
• Exercice 54 Les dérivées secondes contrôlent les dérivées premières. Soit f: ℝ → ℝ de classe C^2, telle que f et f'' soient bornées. On note M_0 = sup _ℝ |f| et…
• Exercice 55 Un polynôme qui rencontre trop souvent le cosinus. Soit P une fonction polynomiale telle que l'équation P(x) = cos x ait une infinité de solutions…