Exercice 30

1. Sur $]0\,,+\infty[$, $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ comme composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty}$. On montre l'existence de $P_{n}$ par récurrence, avec $P_{0} = 1$. Si $f^{(n)}(x) = P_{n}\big(\frac{1}{x}\big)\mathrm{e}^{-1/x}$, la dérivation d'une composée et d'un produit donne $$f^{(n+1)}(x) = \Big(-\frac{1}{x^{2}}P_{n}'\Big(\frac{1}{x}\Big) + \frac{1}{x^{2}}P_{n}\Big(\frac{1}{x}\Big)\Big)\mathrm{e}^{-1/x},$$ et l'on pose $$\boxed{P_{n+1}(X) = X^{2}\big(P_{n}(X) - P_{n}'(X)\big)}$$ qui est polynomiale. On trouve $P_{1} = X^{2}$ et $P_{2} = X^{4} - 2X^{3}$.

2. Pour tout polynôme $P$, $\lim\limits_{x \to 0^{+}} P\big(\frac{1}{x}\big)\mathrm{e}^{-1/x} = \lim\limits_{u \to +\infty} P(u)\mathrm{e}^{-u} = 0$, par croissances comparées (chapitre 5) et composition. On montre par récurrence sur $n$ la propriété : « $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $\mathbb{R}$, et $f^{(k)}(0) = 0$ pour $k \leqslant n$ ».

Pour $n = 0$, $f$ est continue en $0$ puisque $\mathrm{e}^{-1/x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0^{+}$. Supposons la propriété vraie au rang $n$. La fonction $f^{(n)}$ est continue sur $\mathbb{R}$, dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$, et sa dérivée $f^{(n+1)}$ tend vers $0$ en $0$ : à droite d'après ce qui précède, à gauche puisqu'elle y est nulle. Le théorème de la limite de la dérivée (théorème 8) montre que $f^{(n)}$ est dérivable en $0$, avec $f^{(n+1)}(0) = 0$, et que $f^{(n+1)}$ est continue en $0$. $$\boxed{f \text{ est de classe } \mathcal{C}^{\infty} \text{ sur } \mathbb{R}, \text{ et } f^{(n)}(0) = 0 \text{ pour tout } n}$$

3. Pour tout réel $x$, on a $x > 0$ ou $1 - x > 0$, donc $f(x) + f(1 - x) > 0$ : la fonction $g$ est bien définie et de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$, comme quotient. Pour $x \leqslant 0$, $f(x) = 0$, donc $g(x) = 0$ ; pour $x \geqslant 1$, $f(1 - x) = 0$, donc $g(x) = 1$. $$\boxed{g(x) = \frac{f(x)}{f(x) + f(1 - x)} \text{ convient}}$$

4. La fonction $h : x \mapsto f(x - a)\,f(b - x)$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, strictement positive sur $]a\,,b[$, et nulle en dehors, puisque l'un des deux facteurs s'y annule. $\boxed{h \text{ convient.}}$

La fonction $f$, en bleu, quitte l'axe des abscisses en $0$ de façon si plate qu'aucune dérivée ne le détecte, et la fonction $g$, en ocre, réalise un passage de $0$ à $1$ sans aucun point anguleux, contrairement à une fonction affine par morceaux.