Exercice 31

1. On a $f_{0}'(x) = \frac{1}{(1 - x)^{2}}$, donc $f_{1}(x) = \frac{x}{(1 - x)^{2}}$. Puis $$f_{1}'(x) = \frac{(1 - x)^{2} + 2x(1 - x)}{(1 - x)^{4}} = \frac{1 + x}{(1 - x)^{3}}, \qquad\text{donc}\qquad \boxed{f_{1}(x) = \frac{x}{(1 - x)^{2}}, \quad f_{2}(x) = \frac{x + x^{2}}{(1 - x)^{3}}}$$

2. On raisonne par récurrence, avec $P_{0} = 1$. Si $f_{n} = \frac{P_{n}}{(1 - x)^{n+1}}$, alors $$f_{n}' = \frac{P_{n}'}{(1 - x)^{n+1}} + \frac{(n + 1)P_{n}}{(1 - x)^{n+2}} = \frac{(1 - x)P_{n}' + (n + 1)P_{n}}{(1 - x)^{n+2}},$$ donc $f_{n+1} = \frac{P_{n+1}}{(1 - x)^{n+2}}$ avec $$\boxed{P_{n+1} = x\big((1 - x)P_{n}' + (n + 1)P_{n}\big)}$$ Écrivons $P_{n} = \sum_{k=0}^{n} p_{k}x^{k}$, avec $p_{k} \in \mathbb{N}$ et $p_{n} = 1$. Le coefficient de $x^{k+1}$ dans $P_{n+1}$ provient des termes $x \cdot (k + 1)p_{k+1}x^{k}$, $-x \cdot x \cdot kp_{k}x^{k-1}$ et $x \cdot (n + 1)p_{k}x^{k}$ ; il vaut $$(k + 1)p_{k+1} + (n + 1 - k)p_{k},$$ avec la convention $p_{n+1} = 0$. C'est un entier naturel, puisque $k \leqslant n$. Le terme constant de $P_{n+1}$ est nul, et le coefficient de $x^{n+1}$ vaut $(n + 1 - n)p_{n} = 1$ : $P_{n+1}$ est de degré $n + 1$, de coefficient dominant $1$, à coefficients entiers naturels.

3. Pour $x \in \,]0\,,1[$, tous les termes de $P_{n}(x)$ sont positifs, et le terme dominant vaut $x^{n} > 0$, donc $P_{n}(x) > 0$. Comme $(1 - x)^{n+1} > 0$, on a $\boxed{f_{n} > 0 \text{ sur } ]0\,,1[}$.

On trouve $P_{3} = x + 4x^{2} + x^{3}$ et $P_{4} = x + 11x^{2} + 11x^{3} + x^{4}$. Ces coefficients symétriques sont les nombres eulériens, qui comptent les permutations de $[\![1\,;n]\!]$ selon leur nombre de montées ; la somme des coefficients de $P_{n}$ vaut d'ailleurs $n!$, comme on le vérifie sur ces exemples.