Exercice 32

1. La fonction $h : x \mapsto \mathrm{e}^{x}\big(f'(x) - f(x)\big)$ est dérivable sur $[a\,,b]$, puisque $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$, et $$h'(x) = \mathrm{e}^{x}\big(f'(x) - f(x)\big) + \mathrm{e}^{x}\big(f''(x) - f'(x)\big) = \mathrm{e}^{x}\big(f''(x) - f(x)\big).$$ Les hypothèses donnent $h(a) = h(b) = 0$. Le théorème de Rolle fournit $c \in \,]a\,,b[$ tel que $h'(c) = 0$, et comme $\mathrm{e}^{c} \neq 0$, $$\boxed{f''(c) = f(c) \text{ pour un } c \in \,]a\,,b[}$$ Le facteur $\mathrm{e}^{x}$ est choisi pour que $h'$ fasse apparaître $f'' - f$ : c'est le facteur intégrant des équations différentielles du chapitre 6, appliqué à $y' - y$.

2. On construit par récurrence des réels $b = c_{0} > c_{1} > \cdots > c_{n} > a$ tels que $f^{(k)}(c_{k}) = 0$. On pose $c_{0} = b$. Si $c_{k}$ est construit, avec $k \leqslant n - 1$, la fonction $f^{(k)}$ est dérivable sur $[a\,,c_{k}]$ et vérifie $f^{(k)}(a) = 0 = f^{(k)}(c_{k})$. Le théorème de Rolle fournit $c_{k+1} \in \,]a\,,c_{k}[$ tel que $f^{(k+1)}(c_{k+1}) = 0$. Pour $k = n$, on obtient $$\boxed{f^{(n)}(c) = 0 \text{ avec } c = c_{n} \in \,]a\,,b[}$$ À chaque étape, on utilise un nouveau zéro en $a$ : c'est pourquoi il faut que $f$ et ses $n - 1$ premières dérivées s'annulent en $a$.