Exercice 33

On a $f = \operatorname{Im}(\varphi)$ avec $\varphi(x) = \mathrm{e}^{x\sqrt{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} = \mathrm{e}^{(\sqrt{3} + \mathrm{i})x}$. Par la proposition 5, $\varphi^{(n)}(x) = (\sqrt{3} + \mathrm{i})^{n}\mathrm{e}^{(\sqrt{3} + \mathrm{i})x}$, et la dérivation commute avec la partie imaginaire. Or $\sqrt{3} + \mathrm{i} = 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6}$, donc $$\varphi^{(n)}(x) = 2^{n}\mathrm{e}^{x\sqrt{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(x + n\pi/6)}, \qquad\text{et}\qquad \boxed{f^{(n)}(x) = 2^{n}\mathrm{e}^{x\sqrt{3}}\sin\Big(x + \frac{n\pi}{6}\Big)}$$ Sans les nombres complexes. Pour tout réel $\theta$, la dérivée de $x \mapsto \mathrm{e}^{x\sqrt{3}}\sin(x + \theta)$ est $$\mathrm{e}^{x\sqrt{3}}\big(\sqrt{3}\sin(x + \theta) + \cos(x + \theta)\big) = 2\mathrm{e}^{x\sqrt{3}}\Big(\cos\frac{\pi}{6}\sin(x + \theta) + \sin\frac{\pi}{6}\cos(x + \theta)\Big) = 2\mathrm{e}^{x\sqrt{3}}\sin\Big(x + \theta + \frac{\pi}{6}\Big),$$ et une récurrence immédiate conclut. Chaque dérivation multiplie l'amplitude par le module $2$ de $\sqrt{3} + \mathrm{i}$ et décale la phase de son argument $\frac{\pi}{6}$.