Exercice 34

1. La fonction $\varphi : t \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathbb{R}$, avec $|\varphi'(t)| = |\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}| = 1$. L'inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs complexes (proposition 6) donne $$\boxed{|\mathrm{e}^{\mathrm{i} t} - \mathrm{e}^{\mathrm{i} s}| \leqslant |t - s|}$$ Le membre de gauche est la longueur de la corde joignant les points du cercle unité d'angles $s$ et $t$, le membre de droite la longueur d'un arc qui les joint : la corde est plus courte que l'arc.

2. Soit $T > 0$ une période de $f$. La fonction réelle $|f'|$ est continue sur le segment $[0\,,T]$ : elle y atteint sa borne supérieure $M$ (chapitre 8). Par $T$-périodicité de $f'$ (exercice 6), elle est bornée par $M$ sur $\mathbb{R}$. La proposition 6 donne alors $|f(x) - f(y)| \leqslant M|x - y|$ pour tous réels $x$ et $y$. $$\boxed{f \text{ est } M\text{-lipschitzienne, avec } M = \max_{[0,T]} |f'|}$$

3. On a $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} - \mathrm{e}^{0} = -2$. S'il existait $c \in \,]0\,,\pi[$ tel que $-2 = \pi\varphi'(c) = \mathrm{i}\pi\mathrm{e}^{\mathrm{i} c}$, on aurait en prenant les modules $2 = \pi$, ce qui est faux. $$\boxed{\text{aucun } c \in \,]0\,,\pi[ \text{ ne vérifie } \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} - 1 = \pi\,\varphi'(c)}$$ Sur $[0\,,2\pi]$, l'échec est encore plus visible, puisque le membre de gauche est nul alors que $|\varphi'| = 1$. Le contre-exemple ne vient donc pas de la périodicité : c'est la proposition 6, et non le théorème des accroissements finis, qui s'étend aux fonctions complexes.