Exercice 35

(a) La fonction $\varphi : x \mapsto (1 + x)^{n}$ est deux fois dérivable sur $[-1\,,+\infty[$, avec $$\varphi''(x) = n(n - 1)(1 + x)^{n-2} \geqslant 0 :$$ elle est convexe (théorème 11). Sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$, d'équation $y = 1 + nx$ (théorème 10). $$\boxed{(1 + x)^{n} \geqslant 1 + nx \text{ pour } x \geqslant -1}$$

(b) À $\lambda$ fixé, $x \mapsto \mathrm{e}^{\lambda x}$ est convexe, de dérivée seconde $\lambda^{2}\mathrm{e}^{\lambda x} \geqslant 0$. On écrit $x \in [-1\,,1]$ sous la forme $x = (1 - \mu)(-1) + \mu \cdot 1$, avec $\mu = \frac{1 + x}{2} \in [0\,,1]$. La définition de la convexité donne $$\mathrm{e}^{\lambda x} \leqslant \frac{1 - x}{2}\,\mathrm{e}^{-\lambda} + \frac{1 + x}{2}\,\mathrm{e}^{\lambda} = \frac{\mathrm{e}^{\lambda} + \mathrm{e}^{-\lambda}}{2} + x\,\frac{\mathrm{e}^{\lambda} - \mathrm{e}^{-\lambda}}{2},$$

$$\boxed{\mathrm{e}^{\lambda x} \leqslant \operatorname{ch}\lambda + x\operatorname{sh}\lambda \text{ pour } x \in [-1\,,1]}$$ Le membre de droite est l'ordonnée sur la corde joignant les points d'abscisses $-1$ et $1$.

(c) Par concavité de $\ln$, $\ln\frac{a + b}{2} \geqslant \frac{1}{2}\ln a + \frac{1}{2}\ln b = \ln\sqrt{ab}$, et la croissance de $\exp$ donne $\sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2}$. On applique ce résultat à $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$ : $\frac{1}{\sqrt{ab}} \leqslant \frac{1}{2}\big(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\big)$, et l'on passe aux inverses. $$\boxed{\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2}}$$ La moyenne harmonique est inférieure à la moyenne géométrique, elle-même inférieure à la moyenne arithmétique.

(d) La fonction $\cos$ est concave sur $\big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$, où $\cos'' = -\cos \leqslant 0$. Sa courbe est au-dessus de sa corde joignant $(0, 1)$ à $\big(\frac{\pi}{2}, 0\big)$, d'équation $y = 1 - \frac{2x}{\pi}$. $$\boxed{\cos x \geqslant 1 - \frac{2x}{\pi} \text{ sur } \big[0\,,\tfrac{\pi}{2}\big]}$$ C'est l'inégalité de Jordan du cours, après le changement de variable $x \mapsto \frac{\pi}{2} - x$.