Exercice 36

1. La fonction $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, avec $$\varphi'(t) = -\frac{\mathrm{e}^{t}}{(1 + \mathrm{e}^{t})^{2}}, \qquad \varphi''(t) = \frac{\mathrm{e}^{t}(\mathrm{e}^{t} - 1)}{(1 + \mathrm{e}^{t})^{3}}.$$ Ainsi $\boxed{\varphi \text{ est concave sur } ]-\infty\,,0] \text{ et convexe sur } [0\,,+\infty[}$, avec un point d'inflexion en $\big(0, \frac{1}{2}\big)$ (proposition 10).

Soit $x_{1}, \dots, x_{n} \geqslant 1$ et $t_{k} = \ln x_{k} \geqslant 0$. L'inégalité de Jensen (proposition 7) pour $\varphi$, convexe sur $[0\,,+\infty[$, avec les coefficients $\frac{1}{n}$, donne $$\varphi\Big(\frac{t_{1} + \cdots + t_{n}}{n}\Big) \leqslant \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \varphi(t_{k}) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + x_{k}}.$$ Or $\exp\big(\frac{t_{1} + \cdots + t_{n}}{n}\big) = \sqrt[n]{x_{1} \cdots x_{n}}$, d'où $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + x_{k}} \geqslant \frac{n}{1 + \sqrt[n]{x_{1} \cdots x_{n}}}}$$ Piège. L'hypothèse $x_{k} \geqslant 1$ est indispensable : elle place les $t_{k}$ dans l'intervalle où $\varphi$ est convexe. Pour $n = 2$, $x_{1} = \frac{1}{100}$ et $x_{2} = 1$, l'inégalité est fausse : le membre de gauche vaut environ $1{,}490$, et le membre de droite $\frac{2}{1 + 0{,}1} \approx 1{,}818$.

2. Par l'inégalité arithmético-géométrique, démontrée dans le cours par la concavité de $\ln$, $$\frac{1}{n}\Big(\frac{x_{1}}{x_{2}} + \cdots + \frac{x_{n-1}}{x_{n}} + \frac{x_{n}}{x_{1}}\Big) \geqslant \sqrt[n]{\frac{x_{1}}{x_{2}} \cdots \frac{x_{n-1}}{x_{n}} \cdot \frac{x_{n}}{x_{1}}} = 1.$$

$$\boxed{\frac{x_{1}}{x_{2}} + \cdots + \frac{x_{n-1}}{x_{n}} + \frac{x_{n}}{x_{1}} \geqslant n}$$ Le produit télescopique vaut $1$ : c'est ce qui rend la moyenne géométrique si simple ici.