Exercice 37

1. On a $f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + \mathrm{e}^{x}}$ et $f''(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{(1 + \mathrm{e}^{x})^{2}} > 0$ : $\boxed{f \text{ est convexe sur } \mathbb{R}}$.

2. On pose $t_{k} = \ln x_{k}$. L'inégalité de Jensen avec les coefficients $\frac{1}{n}$ donne $$\ln\Big(1 + \exp\Big(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} t_{k}\Big)\Big) \leqslant \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \ln(1 + x_{k}) = \ln\Big(\prod_{k=1}^{n} (1 + x_{k})\Big)^{1/n}.$$ Comme $\exp\big(\frac{1}{n}\sum t_{k}\big) = \big(\prod x_{k}\big)^{1/n}$, la croissance de $\exp$ donne $$\boxed{1 + \Big(\prod_{k=1}^{n} x_{k}\Big)^{1/n} \leqslant \Big(\prod_{k=1}^{n} (1 + x_{k})\Big)^{1/n}}$$

3. On applique la question 2 à $x_{k} = \frac{b_{k}}{a_{k}}$, puis on multiplie par $\big(\prod a_{k}\big)^{1/n}$ : $$\Big(\prod_{k=1}^{n} a_{k}\Big)^{1/n}\bigg(1 + \Big(\prod_{k=1}^{n} \frac{b_{k}}{a_{k}}\Big)^{1/n}\bigg) \leqslant \Big(\prod_{k=1}^{n} a_{k}\Big)^{1/n}\Big(\prod_{k=1}^{n} \frac{a_{k} + b_{k}}{a_{k}}\Big)^{1/n},$$

$$\boxed{\Big(\prod_{k=1}^{n} a_{k}\Big)^{1/n} + \Big(\prod_{k=1}^{n} b_{k}\Big)^{1/n} \leqslant \Big(\prod_{k=1}^{n} (a_{k} + b_{k})\Big)^{1/n}}$$ C'est une inégalité triangulaire renversée pour la moyenne géométrique : la moyenne d'une somme dépasse la somme des moyennes.