Exercice 29

(a) Les deux fonctions tendent vers $0$ en $0$, comme produits d'une fonction bornée par une fonction de limite nulle : on les prolonge par $0$. Notons $f$ et $g$ les prolongements.

• Le taux d'accroissement de $f$ en $0$ est $x\sin\frac{1}{x}$, qui tend vers $0$ : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $f'(0) = 0$ et $f'(x) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$ pour $x \neq 0$. Cette dérivée n'a pas de limite en $0$, car $\cos\frac{1}{x}$ vaut $1$ en $\frac{1}{2k\pi}$ et $-1$ en $\frac{1}{(2k + 1)\pi}$.

• Le taux d'accroissement de $g$ en $0$ est $x^{2}\sin\frac{1}{x}$, qui tend vers $0$, et $g'(x) = 3x^{2}\sin\frac{1}{x} - x\cos\frac{1}{x}$ tend vers $0$ : $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$. Le taux d'accroissement de $g'$ en $0$ vaut $3x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$, qui n'a pas de limite : $g$ n'est pas deux fois dérivable en $0$.

(b) Avec $1 - \cos x = 2\sin^{2}\frac{x}{2}$ et $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$, on obtient, pour $x \in \big]0\,,\frac{\pi}{2}\big]$, $$\frac{\cos x - 1}{\sin x} = -\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = -\tan\frac{x}{2}.$$ Le prolongement par $0$ en $0$ est la fonction $x \mapsto -\tan\frac{x}{2}$ sur $\big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$. $$\boxed{\text{le prolongement est de classe } \mathcal{C}^{\infty}}$$ Le quotient n'avait qu'une indétermination apparente : la formule de l'angle moitié la fait disparaître.

(c) La fonction $f$ est $1$-périodique, puisque $\lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1$, et vaut $(x - n)(x - n - 1)$ sur $[n\,,n + 1[$. Elle est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur chaque intervalle $]n\,,n + 1[$. En l'entier $n + 1$, la limite à gauche vaut $1 \times 0 = 0 = f(n + 1)$ : elle est continue sur $\mathbb{R}$. Sur $]n\,,n + 1[$, sa dérivée vaut $2(x - n) - 1$, qui tend vers $-1$ à droite de $n$ et vers $1$ à gauche de $n + 1$. Par le théorème de la limite de la dérivée, appliqué de chaque côté, $f'_{d}(n) = -1$ et $f'_{g}(n) = 1$. $$\boxed{f \text{ est continue sur } \mathbb{R} \text{ mais n'est pas dérivable aux entiers}}$$ La courbe est une suite d'arches de parabole, qui se raccordent aux entiers avec des pentes opposées.

(d) Notons $f$ la fonction obtenue. Elle est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]-\infty\,,0[$ et sur $]0\,,+\infty[$.

• La continuité en $0$ demande que la limite à gauche, $1$, soit égale à $f(0) = a + b$.

• On a $f'(x) = 1 + b\mathrm{e}^{x}$ pour $x > 0$, de limite $1 + b$, et $f'(x) = -\sin x - 1$ pour $x < 0$, de limite $-1$. Par le théorème de la limite de la dérivée, $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ si et seulement si $1 + b = -1$.

On obtient $b = -2$ et $a = 3$. Alors $f''(x) = -2\mathrm{e}^{x}$ tend vers $-2$ à droite, et $f''(x) = -\cos x$ tend vers $-1$ à gauche : par le théorème de la limite de la dérivée appliqué à $f'$ de chaque côté, $f'$ a en $0$ une dérivée à droite égale à $-2$ et une dérivée à gauche égale à $-1$. $$\boxed{a = 3, \ b = -2 ; \ f \text{ est de classe } \mathcal{C}^{1} \text{ mais n'est pas deux fois dérivable en } 0}$$