Exercice 28

1. Pour $0 \leqslant k \leqslant n - 1$, on a $(x^{n-1})^{(k)} = \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - k)!}x^{n-1-k}$, et la dérivée $n$-ième est nulle. Pour le logarithme, $\ln(1 + x)' = \frac{1}{1 + x}$, puis, comme à l'exercice 27(b), pour $k \geqslant 1$, $$\boxed{\big(\ln(1 + x)\big)^{(k)} = \frac{(-1)^{k-1}(k - 1)!}{(1 + x)^{k}}}$$

2. La formule de Leibniz ne fait intervenir que les termes $k \leqslant n - 1$ pour le premier facteur, donc des dérivées du logarithme d'ordre $n - k \geqslant 1$ : $$\big(x^{n-1}\ln(1 + x)\big)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}\frac{(n - 1)!}{(n - 1 - k)!}x^{n-1-k} \times \frac{(-1)^{n-k-1}(n - k - 1)!}{(1 + x)^{n-k}}.$$ Les factorielles $(n - 1 - k)!$ se simplifient. On pose $j = n - k$, qui varie de $1$ à $n$, et l'on utilise $\binom{n}{n - j} = \binom{n}{j}$ : $$\big(x^{n-1}\ln(1 + x)\big)^{(n)} = (n - 1)!\sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j}\frac{(-1)^{j-1}x^{j-1}}{(1 + x)^{j}}.$$ Pour $x \neq 0$, on factorise par $-\frac{1}{x}$ et l'on reconnaît la formule du binôme, privée de son terme $j = 0$ : $$\sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j}(-1)^{j-1}\frac{x^{j-1}}{(1 + x)^{j}} = -\frac{1}{x}\bigg(\Big(1 - \frac{x}{1 + x}\Big)^{n} - 1\bigg) = \frac{1}{x}\Big(1 - \frac{1}{(1 + x)^{n}}\Big).$$

$$\boxed{\big(x^{n-1}\ln(1 + x)\big)^{(n)} = \frac{(n - 1)!\,\big((1 + x)^{n} - 1\big)}{x(1 + x)^{n}} \quad\text{pour } x \neq 0}$$ En $0$, la somme vaut $(n - 1)!\binom{n}{1} = n!$, qui est aussi la limite du membre de droite, puisque $\frac{(1 + x)^{n} - 1}{x}$ tend vers la dérivée $n$ de $x \mapsto (1 + x)^{n}$ en $0$. Pour $n = 2$, on trouve $\frac{x + 2}{(1 + x)^{2}}$, résultat confirmé par le calcul formel.

Piège. L'erreur la plus répandue est d'oublier que la dérivée $n$-ième de $x^{n-1}$ est nulle, et de conserver un terme $k = n$ qui ferait intervenir la « dérivée d'ordre $0$ » du logarithme : la somme s'arrête à $k = n - 1$, ce qui fait disparaître le logarithme du résultat.