Exercice 27

Toutes ces fonctions sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur leur domaine, par les opérations de la proposition 4. Les formules ci-dessous s'établissent par une récurrence immédiate, ou par la formule de Leibniz (théorème 9), et ont été contrôlées par le calcul formel pour $n \leqslant 5$.

(a) On écrit $a^{x} = \mathrm{e}^{x\ln a}$, et chaque dérivation fait sortir un facteur $\ln a$ : $$\boxed{(a^{x})^{(n)} = (\ln a)^{n}\,a^{x}}$$

(b) On raisonne par récurrence : la dérivée de $(-1)^{n}n!\,x^{-n-1}$ est $$(-1)^{n}n!\,(-n - 1)x^{-n-2} = (-1)^{n+1}(n + 1)!\,x^{-n-2},$$ et $$\boxed{\Big(\frac{1}{x}\Big)^{(n)} = \frac{(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}$$

(c) La formule de Leibniz ne comporte que trois termes non nuls, puisque les dérivées de $x^{2}$ d'ordre au moins $3$ sont nulles, et $(\mathrm{e}^{3x})^{(j)} = 3^{j}\mathrm{e}^{3x}$ : $$(x^{2}\mathrm{e}^{3x})^{(n)} = x^{2} \cdot 3^{n}\mathrm{e}^{3x} + n \cdot 2x \cdot 3^{n-1}\mathrm{e}^{3x} + \binom{n}{2} \cdot 2 \cdot 3^{n-2}\mathrm{e}^{3x},$$

$$\boxed{(x^{2}\mathrm{e}^{3x})^{(n)} = 3^{n-2}\,\mathrm{e}^{3x}\big(9x^{2} + 6nx + n(n - 1)\big)}$$ La formule reste juste pour $n = 0$ et $n = 1$, où les termes en $\binom{n}{2}$ ou en $n$ sont nuls.

(d) Avec $P(x) = x^{3} + 2x - 7$, de dérivées $P' = 3x^{2} + 2$, $P'' = 6x$ et $P''' = 6$, la formule de Leibniz donne $$\boxed{\big(P(x)\mathrm{e}^{x}\big)^{(n)} = \mathrm{e}^{x}\big(x^{3} + 2x - 7 + n(3x^{2} + 2) + 3n(n - 1)x + n(n - 1)(n - 2)\big)}$$ Les coefficients $\binom{n}{2}P''$ et $\binom{n}{3}P'''$ valent $3n(n - 1)x$ et $n(n - 1)(n - 2)$.

(e) On a $21 + 5x - 4x^{2} = (3 - x)(4x + 7)$. La décomposition $$\frac{1}{(3 - x)(4x + 7)} = \frac{1}{19}\Big(\frac{1}{3 - x} + \frac{4}{4x + 7}\Big)$$ se vérifie en réduisant au même dénominateur, puisque $(4x + 7) + 4(3 - x) = 19$. Or $\big(\frac{1}{3 - x}\big)^{(n)} = \frac{n!}{(3 - x)^{n+1}}$ et $\big(\frac{1}{4x + 7}\big)^{(n)} = \frac{(-1)^{n}n!\,4^{n}}{(4x + 7)^{n+1}}$, comme en (b), d'où, pour $x \notin \big\{3, -\frac{7}{4}\big\}$, $$\boxed{\Big(\frac{1}{21 + 5x - 4x^{2}}\Big)^{(n)} = \frac{n!}{19}\Big(\frac{1}{(3 - x)^{n+1}} + \frac{(-1)^{n}4^{n+1}}{(4x + 7)^{n+1}}\Big)}$$

(f) La formule de Moivre, ou les formules d'Euler du chapitre 4, donnent $\cos^{3}x = \frac{3\cos x + \cos(3x)}{4}$. Comme $\cos^{(n)}(x) = \cos\big(x + \frac{n\pi}{2}\big)$, $$\boxed{(\cos^{3})^{(n)}(x) = \frac{1}{4}\Big(3\cos\Big(x + \frac{n\pi}{2}\Big) + 3^{n}\cos\Big(3x + \frac{n\pi}{2}\Big)\Big)}$$ À retenir. La formule de Leibniz est efficace quand l'un des facteurs est polynomial : la somme s'arrête après quelques termes. Pour une fraction rationnelle, on la décompose d'abord en éléments simples, dont les dérivées successives se calculent à vue. Pour une puissance de $\cos$ ou de $\sin$, on linéarise.