Exercice 26

1. On construit les $y_{k}$ de proche en proche. On pose $y_{0} = 0$ et $y_{n} = 1$. Si $y_{k-1} < 1$ est construit avec $f(y_{k-1}) = \frac{k - 1}{n}$, où $1 \leqslant k \leqslant n - 1$, on a $f(y_{k-1}) < \frac{k}{n} < 1 = f(1)$. Le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à la fonction continue $f$ sur $[y_{k-1}\,,1]$, fournit $y_{k} \in \,]y_{k-1}\,,1[$ tel que $f(y_{k}) = \frac{k}{n}$. $$\boxed{0 = y_{0} < y_{1} < \cdots < y_{n} = 1, \quad f(y_{k}) = \tfrac{k}{n}}$$

2. Pour $1 \leqslant k \leqslant n$, le théorème des accroissements finis sur $[y_{k-1}\,,y_{k}]$ fournit $x_{k} \in \,]y_{k-1}\,,y_{k}[$ tel que $$f'(x_{k})(y_{k} - y_{k-1}) = f(y_{k}) - f(y_{k-1}) = \frac{1}{n}.$$ En particulier $f'(x_{k}) \neq 0$, et $\frac{1}{f'(x_{k})} = n(y_{k} - y_{k-1})$. La somme est télescopique : $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f'(x_{k})} = n\sum_{k=1}^{n} (y_{k} - y_{k-1}) = n(y_{n} - y_{0}) = n}$$ Les $x_{k}$ sont strictement croissants, car ils sont dans les intervalles disjoints $]y_{k-1}\,,y_{k}[$.

3. On découpe cette fois l'intervalle de départ, et non l'intervalle d'arrivée. Pour $1 \leqslant k \leqslant n$, le théorème des accroissements finis fournit $z_{k} \in \big]\frac{k - 1}{n}\,,\frac{k}{n}\big[$ tel que $$f\Big(\frac{k}{n}\Big) - f\Big(\frac{k - 1}{n}\Big) = \frac{1}{n}f'(z_{k}).$$ En sommant ces $n$ égalités, $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} f'(z_{k}) = n\big(f(1) - f(0)\big) = n}$$ Les deux questions sont symétriques : la première découpe les ordonnées en parts égales, la seconde les abscisses.