Exercice 25

1. La tangente au point d'abscisse $c$ a pour pente $f'(c)$, et la corde joignant l'origine, qui est sur la courbe puisque $f(0) = 0$, au point $(c, f(c))$ a pour pente $\frac{f(c)}{c}$. La conclusion dit que ces deux droites, qui passent par le point $(c, f(c))$, ont la même pente : $$\boxed{\text{la tangente au point d'abscisse } c \text{ passe par l'origine}}$$ Elle est alors confondue avec la corde.

2. La fonction $g$ est continue et dérivable sur $]0\,,1]$ comme quotient, et continue en $0$ puisque $\frac{f(x)}{x} = \frac{f(x) - f(0)}{x}$ tend vers $f'(0) = 0 = g(0)$. Pour $x \in \,]0\,,1]$, $$\boxed{g'(x) = \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}}$$ La conclusion cherchée équivaut donc à l'annulation de $g'$ en un point $c \in \,]0\,,1]$.

3. Si $f(1) = 0$, alors $g(0) = g(1) = 0$, et le théorème de Rolle fournit $c \in \,]0\,,1[$ tel que $g'(c) = 0$.

Si $f(1) > 0$, on a $g'(1) = f'(1) - f(1) = -f(1) < 0$. Comme $\frac{g(x) - g(1)}{x - 1}$ tend vers $g'(1) < 0$ quand $x$ tend vers $1^{-}$, il existe $x < 1$ tel que $g(x) > g(1)$. De plus $g(1) = f(1) > 0 = g(0)$. La fonction continue $g$ atteint son maximum sur $[0\,,1]$ en un point $c$, qui n'est ni $0$, puisque $g(1) > g(0)$, ni $1$, puisque $g(x) > g(1)$. Ainsi $c \in \,]0\,,1[$ est intérieur, et $g'(c) = 0$ par la proposition 2.

Si $f(1) < 0$, on applique ce qui précède à $-f$, qui vérifie les mêmes hypothèses. Dans tous les cas, $$\boxed{\text{il existe } c \in \,]0\,,1[ \text{ tel que } f'(c) = \frac{f(c)}{c}}$$ Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Flett (1958). L'hypothèse $f'(0) = f'(1)$ y joue le rôle de l'hypothèse $f(a) = f(b)$ du théorème de Rolle.