Exercice 24

1. Si l'on avait $g(a) = g(b)$, le théorème de Rolle ferait s'annuler $g'$ sur $]a\,,b[$ : ainsi $g(b) \neq g(a)$. On pose $$\varphi(x) = \big(f(b) - f(a)\big)g(x) - \big(g(b) - g(a)\big)f(x).$$ La fonction $\varphi$ est continue sur $[a\,,b]$, dérivable sur $]a\,,b[$, et un calcul direct donne $$\varphi(a) = \varphi(b) = f(b)g(a) - f(a)g(b).$$ Le théorème de Rolle fournit $c \in \,]a\,,b[$ tel que $\varphi'(c) = 0$, c'est-à-dire $$\big(f(b) - f(a)\big)g'(c) = \big(g(b) - g(a)\big)f'(c).$$ On divise par le produit $g'(c)\big(g(b) - g(a)\big)$, qui est non nul. $$\boxed{\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \text{ pour un } c \in \,]a\,,b[}$$ Pour $g(x) = x$, on retrouve le théorème des accroissements finis.

2. Pour $x \in \,]a\,,b]$, on applique la question 1 sur $[a\,,x]$ : il existe $c_{x} \in \,]a\,,x[$ tel que $$\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})}.$$ Soit $\varepsilon > 0$, et $\delta > 0$ tel que $\big|\frac{f'(t)}{g'(t)} - \ell\big| \leqslant \varepsilon$ pour $a < t < a + \delta$. Pour $a < x < a + \delta$, on a $a < c_{x} < a + \delta$, donc le quotient étudié est à distance au plus $\varepsilon$ de $\ell$. $$\boxed{\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \ell}$$

3. On pose $f(x) = \cos x - \mathrm{e}^{x}$ et $g(x) = (x + 1)\mathrm{e}^{x} - 1$ sur $[0\,,1]$. On a $f(0) = g(0) = 0$, $f'(x) = -\sin x - \mathrm{e}^{x}$, et $g'(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{x}$, qui ne s'annule pas sur $]0\,,1[$. Comme $$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{-\sin x - \mathrm{e}^{x}}{(x + 2)\mathrm{e}^{x}} \xrightarrow[x \to 0^{+}]{} \frac{-1}{2},$$ la question 2 donne $$\boxed{\lim\limits_{x \to 0^{+}} \frac{\cos x - \mathrm{e}^{x}}{(x + 1)\mathrm{e}^{x} - 1} = -\frac{1}{2}}$$ Piège. La règle de L'Hospital donne la limite du quotient si celle des dérivées existe. La réciproque est fausse : avec $f(x) = x^{2}\sin\frac{1}{x}$ et $g(x) = x$ en $0$, le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend vers $0$, alors que $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ n'a pas de limite. Dans ce cours, on préférera reconnaître un taux d'accroissement, ou attendre les développements limités du chapitre 10.