Exercice 23

1. La fonction $f$ est continue sur le segment $[a\,,b]$, puisqu'elle y est dérivable : elle y atteint son minimum en un point $c$. Comme $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ tend vers $f'(a) < 0$ quand $x$ tend vers $a^{+}$, il existe $x \in \,]a\,,b[$ tel que $f(x) < f(a)$ : le minimum n'est pas atteint en $a$. De même, $\frac{f(x) - f(b)}{x - b}$ tend vers $f'(b) > 0$ quand $x$ tend vers $b^{-}$, donc il existe $x < b$ tel que $f(x) < f(b)$, et le minimum n'est pas atteint en $b$. Ainsi $c \in \,]a\,,b[$ est un point intérieur, et la proposition 2 donne $\boxed{f'(c) = 0}$.

2. Soit $a < b$ dans $I$ et $\lambda$ un réel strictement compris entre $f'(a)$ et $f'(b)$. Si $f'(a) < \lambda < f'(b)$, la fonction $g : x \mapsto f(x) - \lambda x$ vérifie $g'(a) < 0 < g'(b)$, et la question 1 fournit $c \in \,]a\,,b[$ tel que $g'(c) = 0$, soit $f'(c) = \lambda$. Si $f'(a) > \lambda > f'(b)$, on applique ce qui précède à $-f$. Ainsi $f'(I)$ contient tout réel compris entre deux de ses éléments : c'est un intervalle, d'après la caractérisation des intervalles du chapitre 7. $$\boxed{f'(I) \text{ est un intervalle}}$$

3. L'image de $\mathbb{R}$ par la partie entière est $\mathbb{Z}$, qui n'est pas un intervalle : elle contient $0$ et $1$, mais pas $\frac{1}{2}$. Par la question 2, $\boxed{\text{la partie entière n'est la dérivée d'aucune fonction}}$.

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $g'(0) = \lim\limits_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$ et $g'(x) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$ pour $x \neq 0$. Cette dérivée n'a pas de limite en $0$, elle n'est donc pas continue. Ce n'est pas un contre-exemple : le théorème de Darboux affirme justement que $g'$, bien que discontinue, vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, et c'est le cas, puisque $g'$ oscille entre des valeurs proches de $-1$ et de $1$ au voisinage de $0$, en passant par $0$. $\boxed{\text{Ce n'est pas un contre-exemple.}}$

À retenir. Une dérivée peut être discontinue, mais pas n'importe comment : elle ne peut pas faire de saut. C'est pourquoi une fonction présentant un saut, comme la partie entière, n'a pas de primitive sur $\mathbb{R}$ ; le chapitre sur l'intégration le confirmera.