Exercice 22

Soit $x \in I$. Pour $y \in I$ distinct de $x$, $$\Big|\frac{f(y) - f(x)}{y - x}\Big| \leqslant C|y - x|^{\alpha - 1} \xrightarrow[y \to x]{} 0,$$ puisque $\alpha - 1 > 0$. Ainsi $f$ est dérivable en $x$, avec $f'(x) = 0$. La dérivée étant nulle sur l'intervalle $I$, le théorème 7 conclut. $$\boxed{\text{si } \alpha > 1, \ f \text{ est constante}}$$ Pour $\alpha = 1$, ce sont les fonctions lipschitziennes : il en existe de nombreuses non constantes, comme $x \mapsto x$, et même non dérivables, comme $x \mapsto |x|$. Pour $0 < \alpha < 1$, la racine carrée est $\frac{1}{2}$-höldérienne sur $[0\,,+\infty[$ : pour $0 \leqslant y \leqslant x$, on a $\big(\sqrt{y} + \sqrt{x - y}\big)^{2} = x + 2\sqrt{y(x - y)} \geqslant x$, donc $\sqrt{x} - \sqrt{y} \leqslant \sqrt{x - y}$. Elle n'est pourtant pas lipschitzienne, puisque son taux d'accroissement en $0$ tend vers $+\infty$. L'hypothèse avec $\alpha > 1$ est donc très forte : elle impose une pente nulle partout.