Exercice 21

On applique la méthode du point fixe attractif (proposition 3) : on trouve un intervalle stable $J$ sur lequel $|\varphi'| \leqslant k < 1$, et l'inégalité des accroissements finis donne $|u_{n+1} - \ell| = |\varphi(u_{n}) - \varphi(\ell)| \leqslant k|u_{n} - \ell|$, d'où $|u_{n} - \ell| \leqslant k^{n}|u_{0} - \ell|$.

(a) La fonction $\varphi : x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}$ est dérivable, avec $$\varphi'(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{(\mathrm{e}^{x} + 1)^{2}} > 0.$$ Comme $\varphi$ est croissante, $\varphi([0\,,1]) = \big[\frac{1}{2}\,,\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e} + 1}\big] \subset [0\,,1]$ : l'intervalle $[0\,,1]$ est stable. Par ailleurs, en posant $s = \mathrm{e}^{x}$, on a $\varphi'(x) = \frac{s}{(1 + s)^{2}} \leqslant \frac{1}{4}$, puisque $(1 + s)^{2} - 4s = (1 - s)^{2} \geqslant 0$. La fonction $x \mapsto \varphi(x) - x$ est continue, strictement décroissante puisque sa dérivée est inférieure à $\frac{1}{4} - 1$, positive en $0$ et négative en $1$ : elle s'annule en un unique point $\ell \in [0\,,1]$. Ainsi $$\boxed{(u_{n}) \text{ converge vers l'unique point fixe } \ell \approx 0{,}6590, \text{ avec } |u_{n} - \ell| \leqslant \frac{1}{4^{n}}}$$

(b) Soit $\varphi(x) = \sqrt{1 + x}$. L'intervalle $J = [1\,,+\infty[$ est stable, et pour $x \geqslant 1$, $$0 < \varphi'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x}} \leqslant \frac{1}{2\sqrt{2}}.$$ Le point fixe vérifie $\ell^{2} = 1 + \ell$ et $\ell \geqslant 1$, donc $\ell = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, le nombre d'or. $$\boxed{(u_{n}) \text{ converge vers } \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \text{ avec } |u_{n} - \ell| \leqslant \frac{2 - \ell}{(2\sqrt{2})^{n}} \leqslant \frac{0{,}39}{(2\sqrt{2})^{n}}}$$

(c) Par récurrence, $u_{n} > 0$ pour tout $n$, donc $u_{n+1} = u_{n}\mathrm{e}^{-u_{n}} < u_{n}$ : la suite est décroissante et minorée par $0$, elle converge vers un réel $\ell \geqslant 0$. Par continuité de $\varphi : x \mapsto x\mathrm{e}^{-x}$, on a $\ell = \ell\mathrm{e}^{-\ell}$, donc $\ell = 0$. On a $\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 0}$.

La méthode du point fixe attractif ne s'applique pas, car $\varphi'(0) = 1$ : aucun intervalle contenant $0$ ne vérifie $|\varphi'| \leqslant k < 1$. Et la conclusion de la méthode est effectivement fausse ici. Si l'on avait $u_{n} \leqslant Cq^{n}$ avec $0 < q < 1$, on pourrait choisir $q'$ tel que $q < q' < 1$. Puisque $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \mathrm{e}^{-u_{n}}$ tend vers $1$, on aurait $u_{n+1} \geqslant q'u_{n}$ à partir d'un rang $N$, donc $u_{n} \geqslant u_{N}q'^{\,n-N}$, et $\big(\frac{q'}{q}\big)^{n}$ serait bornée, ce qui est absurde. La convergence est plus lente que toute suite géométrique ; on observe numériquement que $nu_{n}$ est proche de $1$ pour $n$ grand.