Exercice 20

1. Supposons d'abord $\ell = 0$. Soit $\varepsilon > 0$, et $A > 0$ tel que $|f'(t)| \leqslant \varepsilon$ pour $t \geqslant A$. Pour $x > A$, l'inégalité des accroissements finis sur $[A\,,x]$ donne $|f(x) - f(A)| \leqslant \varepsilon(x - A) \leqslant \varepsilon x$, d'où $$\Big|\frac{f(x)}{x}\Big| \leqslant \frac{|f(A)|}{x} + \varepsilon \leqslant 2\varepsilon \qquad\text{pour } x \geqslant \max\Big(A, \frac{|f(A)|}{\varepsilon}\Big).$$ Ainsi $\frac{f(x)}{x}$ tend vers $0$. Dans le cas général, on applique ce résultat à $g : x \mapsto f(x) - \ell x$, dont la dérivée $f' - \ell$ tend vers $0$ : $\frac{f(x)}{x} - \ell$ tend vers $0$. $$\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \ell}$$

2. La réciproque est fausse : $f : x \mapsto \sin(x^{2})$ vérifie $\big|\frac{f(x)}{x}\big| \leqslant \frac{1}{x}$, mais $f'(x) = 2x\cos(x^{2})$ vaut $2\sqrt{2n\pi}$ en $\sqrt{2n\pi}$ et $0$ en $\sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$ : elle n'a pas de limite. $\boxed{\text{La réciproque est fausse.}}$

3. Soit $A > 0$ tel que $f'(t) \geqslant 1$ pour $t \geqslant A$. Le théorème des accroissements finis sur $[A\,,x]$ donne $f(x) \geqslant f(A) + (x - A)$, qui tend vers $+\infty$ : par minoration, $\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$.

4. Si $f$ est bornée par $M$, alors $\big|\frac{f(x)}{x}\big| \leqslant \frac{M}{x}$, qui tend vers $0$. La question 1 et l'unicité de la limite donnent $\boxed{\ell = 0}$. En revanche, une fonction bornée dérivable n'a pas nécessairement une dérivée de limite nulle : l'exemple $x \mapsto \sin(x^{2})$ de la question 2 est borné, et sa dérivée n'a pas de limite. La question 4 suppose l'existence de la limite de $f'$ ; elle n'en détermine que la valeur.