Exercice 19

1. La fonction $f'$ est continue sur le segment $[0\,,1]$ : elle y atteint son minimum $m$ (chapitre 8), et $m > 0$ puisque ce minimum est une valeur de $f'$. Pour $x \in \,]0\,,1]$, le théorème des accroissements finis fournit $c \in \,]0\,,x[$ tel que $f(x) = f(x) - f(0) = xf'(c) \geqslant mx$, et l'inégalité est une égalité en $0$. $$\boxed{f(x) \geqslant mx \text{ sur } [0\,,1], \text{ avec } m = \min_{[0,1]} f' > 0}$$

2. Le résultat subsiste. Soit $g$ définie par $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ pour $x \in \,]0\,,1]$ et $g(0) = f'(0)$. Elle est continue sur $]0\,,1]$, et en $0$ par définition de $f'(0)$, puisque $f(0) = 0$. Pour $x > 0$, le théorème des accroissements finis donne $f(x) = xf'(c) > 0$, donc $g(x) > 0$, et $g(0) = f'(0) > 0$. La fonction continue $g$ atteint son minimum $m$ sur le segment $[0\,,1]$, et $m > 0$. $$\boxed{\text{le résultat subsiste, avec } m = \min_{[0,1]} g}$$ Piège. Dans la question 1, il est tentant de poser $m = \inf f'$ sans justifier qu'il est strictement positif. Une fonction strictement positive peut avoir une borne inférieure nulle, comme $x \mapsto x$ sur $]0\,,1]$ : c'est le théorème des bornes atteintes, sur un segment, qui garantit $m > 0$. Dans la question 2, on ne peut plus l'appliquer à $f'$, qui peut être discontinue, d'où le recours à $g$.