Exercice 18

1. Le théorème des accroissements finis appliqué à $\ln$ sur $[x\,,x + 1]$ fournit $c \in \,]x\,,x + 1[$ tel que $\ln(x + 1) - \ln x = \frac{1}{c}$. Comme $x < c < x + 1$, $$\boxed{\frac{1}{x + 1} < \ln(x + 1) - \ln x < \frac{1}{x}}$$

2. Pour $k \geqslant 2$, la question 1 avec $x = k$, puis avec $x = k - 1$, donne $$\ln(k + 1) - \ln k < \frac{1}{k} < \ln k - \ln(k - 1).$$ On somme pour $k$ allant de $n + 1$ à $2n$ : les sommes sont télescopiques, et $$\ln(2n + 1) - \ln(n + 1) < v_{n} < \ln(2n) - \ln n = \ln 2.$$ Le minorant vaut $\ln\frac{2n + 1}{n + 1}$, qui tend vers $\ln 2$ par continuité du logarithme. Par encadrement, $$\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n} = \ln 2}$$

3. De même, en sommant de $k = 1$ à $n$ la minoration, puis de $k = 2$ à $n$ la majoration, on obtient $$\ln(n + 1) < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} < 1 + \ln n.$$ Pour $n \geqslant 2$, on divise par $\ln n > 0$ : le minorant $\frac{\ln(n + 1)}{\ln n} = 1 + \frac{\ln(1 + 1/n)}{\ln n}$ et le majorant $1 + \frac{1}{\ln n}$ tendent tous deux vers $1$. $$\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1}$$ La somme harmonique tend donc vers $+\infty$ à la vitesse du logarithme, ce que le chapitre 7 n'avait pas pu préciser.